Os resistores que vão ser usados num circuito tem uma média de resistência de 200 ohms e desvio padrão de 10 ohms. Suponha que 25 desses resistores foram selecionados aleatoriamente para serem usados num circuito. (a) Qual é a probabilidade de que a resistência média desses 25 resistores esteja entre 199 e 202 ohms? (b) Encontre a probabilidade de que a resistência total não exceda de 5100 ohms.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre resistores com uma resistência média de 200 ohms e um desvio padrão de 10 ohms. Selecionamos 25 resistores aleatoriamente. Temos duas partes para resolver:
(a) A probabilidade de a resistência média desses 25 resistores estar entre 199 e 202 ohms.
(b) A probabilidade de que a resistência total não exceda 5100 ohms.
Vamos usar conceitos de estatística, especificamente distribuição normal e distribuição da média amostral. Vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição normal padrão.
Passo 2
Parte (a): Probabilidade da resistência média estar entre 199 e 202 ohms
Primeiro, vamos entender a distribuição da média amostral. Quando pegamos uma amostra de resistores, a resistência média dessa amostra também tem uma distribuição normal (pela Lei dos Grandes Números) com média igual à média dos resistores individuais e desvio padrão igual ao desvio padrão individual dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Então, a média da distribuição amostral é:
E o desvio padrão da distribuição amostral é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média estar entre 199 e 202 ohms. Vamos padronizar esses valores usando o escore z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão.
Calculamos o z para 199 ohms:
E para 202 ohms:
Agora, queremos encontrar $ P(-0,5 < Z < 1) $.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
Então, a probabilidade é:
Ou seja, aproximadamente 53,28%.
Passo 4
Parte (b): Probabilidade de a resistência total não exceder 5100 ohms
Para a resistência total, assumimos que ela é a soma das resistências individuais dos 25 resistores. A soma de variáveis aleatórias normalmente distribuídas também é normalmente distribuída.
A média da soma será:
E o desvio padrão da soma será:
Queremos encontrar a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a 5100 ohms.
Passo 5
Vamos calcular o z correspondente a 5100 ohms:
Agora, queremos encontrar $ P(Z \leq 2) $.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
Ou seja, aproximadamente 97,72%.
Resposta
(a) A probabilidade da resistência média estar entre 199 e 202 ohms é de aproximadamente 53,28%.
(b) A probabilidade de que a resistência total não exceda 5100 ohms é de aproximadamente 97,72%.