Os resistores que vão ser usados num circuito tem uma média de resistência de 200 ohms e desvio padrão de 10 ohms. Suponha que 25 desses resistores foram selecionados aleatoriamente para serem usados num circuito. (a) Qual é a probabilidade de que a resistência média desses 25 resistores esteja entre 199 e 202 ohms? (b) Encontre a probabilidade de que a resistência total não exceda de 5100 ohms.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre resistores com uma resistência média de 200 ohms e um desvio padrão de 10 ohms. Selecionamos 25 resistores aleatoriamente. Temos duas partes para resolver:
(a) A probabilidade de a resistência média desses 25 resistores estar entre 199 e 202 ohms.
(b) A probabilidade de que a resistência total não exceda 5100 ohms.
Vamos usar conceitos de estatística, especificamente distribuição normal e distribuição da média amostral. Vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição normal padrão.

Passo 2

Parte (a): Probabilidade da resistência média estar entre 199 e 202 ohms
Primeiro, vamos entender a distribuição da média amostral. Quando pegamos uma amostra de resistores, a resistência média dessa amostra também tem uma distribuição normal (pela Lei dos Grandes Números) com média igual à média dos resistores individuais e desvio padrão igual ao desvio padrão individual dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Então, a média da distribuição amostral é:
mubarx = mu = 200 , ohms
E o desvio padrão da distribuição amostral é:
sigmabarx = sigmaraizn = 10raiz25 = 105 = 2 , ohms

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média estar entre 199 e 202 ohms. Vamos padronizar esses valores usando o escore z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão.
Calculamos o z para 199 ohms:
z1 = 199 - 2002 = -12 = -0,5
E para 202 ohms:
z2 = 202 - 2002 = 22 = 1
Agora, queremos encontrar $ P(-0,5 < Z < 1) $.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
P(-0,5 < Z < 1)
P(Z < 1) = 0,8413
Então, a probabilidade é:
P(Z < -0,5) = 0,3085
Ou seja, aproximadamente 53,28%.

Passo 4

Parte (b): Probabilidade de a resistência total não exceder 5100 ohms
Para a resistência total, assumimos que ela é a soma das resistências individuais dos 25 resistores. A soma de variáveis aleatórias normalmente distribuídas também é normalmente distribuída.
A média da soma será:
musoma = n times mu = 25 times 200 = 5000 , ohms
E o desvio padrão da soma será:
sigmasoma = sigma times raizn = 10 times raiz25 = 10 times 5 = 50 , ohms
Queremos encontrar a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a 5100 ohms.

Passo 5

Vamos calcular o z correspondente a 5100 ohms:
z = 5100 - 500050 = 10050 = 2
Agora, queremos encontrar $ P(Z \leq 2) $.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
P(Z <= 2)
Ou seja, aproximadamente 97,72%.

Resposta

(a) A probabilidade da resistência média estar entre 199 e 202 ohms é de aproximadamente 53,28%.
(b) A probabilidade de que a resistência total não exceda 5100 ohms é de aproximadamente 97,72%.

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