[10 p] Dado o vetor v=3 x+4 y, calcular:
(a) O módulo do vetor;
(b) O ângulo entre o vetor e o eixo x;
(c) O ângulo entre o vetor e o eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor em componentes cartesianas
v=3,x+4,y
e pede (a) o módulo de v, (b) o ângulo entre v e o eixo x e (c) o ângulo entre v e o eixo y.
O conteúdo necessário envolve definição de módulo de vetor e relação entre produto escalar e ângulo (ou trigonometria básica com arctan).

Passo 2

Para calcular o módulo usamos a definição
|v| = raizvx^2 + vy^2
Substituindo vx=3 e vy=4,
|v| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 3

O ângulo thetax entre v e o eixo x satisfaz
tan(thetax) = projeção em yprojeção em x = 43 çãçã
Logo
thetax = arctan!l(tfrac43r) approx 53,13^circ

Passo 4

O ângulo thetay entre v e o eixo y pode ser obtido de duas maneiras:
  1. Usando produto escalar:
    cos(thetay) = vcdoty|v|cdot1 = 45,
    portanto
    thetay = arccos!l(tfrac45r) approx 36,87^circ
  2. Observando que o triângulo formado é retângulo, temos ainda
    thetax + thetay = 90^circ,
    logo thetay = 90^circ - 53,13^circ = 36,87^circ.

Resposta

(a) |v| = 5
(b) thetax = arctan!l(tfrac43r)approx 53,13^circ
(c) thetay = arccos!l(tfrac45r)approx 36,87^circ

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