Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(-x+2 y+3 z+4 t, y+5 z+6 t, z+7 t,-t).
Determine se a matriz A é invertivel. Caso seja, calcule a matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A= -1 & 2 & 3 & 4 [6pt] 0 & 1 & 5 & 6 [6pt] 0 & 0 & 1 & 7 [6pt] 0 & 0 & 0 & -1
é invertível (isto é, se det(A)neq0), e, em caso afirmativo, calcular A^-1 pelo método de Gauss–Jordan. Vamos usar a propriedade de matrizes triangulares para o determinante e montar a matriz aumentada [Amid I] para a eliminação.]

Passo 2

Como A é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: \r
det(A)=(-1)cdot1cdot1cdot(-1)=1neq0 \r
Logo, A é invertível.

Passo 3

Para obter fazemos a eliminação Gauss–Jordan na matriz aumentada \r

Passo 4

Aplicamos operações elementares em bloco (já que A é triangular) para transformar o lado esquerdo em I:\r
1) R1 -R1, R4 -R4 2) Eliminar entradas acima dos pivôs de baixo para cima: \r
  • R1 R1+3,R3, R2 R2-5,R3 \r
  • R1 R1+2,R2 \r
  • R1 R1+4,R4, R2 R2-6,R4, R3 R3-7,R4. \r
    \r
    Depois dessas operações, o lado esquerdo fica a identidade e o lado direito converte-se em A^-1.

Passo 5

Lendo o bloco direito final, obtemos
A^-1= -1 & 2 & -7 & -41 [4pt] 0 & 1 & -5 & -29 [4pt] 0 & 0 & 1 & 7 [4pt] 0 & 0 & 0 & -1 ]

Resposta

A é invertível (pois det(A)=1) e \r
-1 & 2 & -7 & -41 0 & 1 & -5 & -29 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1

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