Defina multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um autovalor.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos duas noções ligadas a autovalores de uma matriz quadrada: a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica. Para isso, vamos precisar do polinômio característico de uma matriz
e do conceito de espaço próprio (autovetores associados a um autovalor).
Passo 2
Definimos o polinômio característico de
como
Sejam
um autovalor de
. A multiplicidade algébrica de
, denotada por
, é o expoente com que o fator
aparece na fatoração de
. Em outras palavras, se
onde
, então
Passo 3
O espaço próprio (ou autospácio) de
é o núcleo da transformação
, isto é,
A multiplicidade geométrica de
, denotada por
, é a dimensão desse espaço próprio:
Passo 4
Em geral vale a desigualdade
Quando para todo autovalor
temos
, a matriz
é diagonalizável.
Resposta
Multiplicidade algébrica de
: expoente de
no polinômio característico
.
Multiplicidade geométrica de : dimensão do espaço próprio
.
Multiplicidade geométrica de