Defina multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um autovalor.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos duas noções ligadas a autovalores de uma matriz quadrada: a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica. Para isso, vamos precisar do polinômio característico de uma matriz AinK^ntimes n e do conceito de espaço próprio (autovetores associados a um autovalor).

Passo 2

Definimos o polinômio característico de A como
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir)
Sejam lambda0 um autovalor de A. A multiplicidade algébrica de lambda0, denotada por malg(lambda0), é o expoente com que o fator (lambda-lambda0) aparece na fatoração de chiA(lambda). Em outras palavras, se
chiA(lambda)=(lambda-lambda0)^m,q(lambda),
onde q(lambda0)neq0, então
malg(lambda0)=m

Passo 3

O espaço próprio (ou autospácio) de lambda0 é o núcleo da transformação A-lambda0I, isto é,
Elambda0=kerl(A-lambda0Ir)=,vinK^nmid (A-lambda0I)v=0,
A multiplicidade geométrica de lambda0, denotada por m>=om(lambda0), é a dimensão desse espaço próprio:
m>=om(lambda0)=diml(Elambda0r)

Passo 4

Em geral vale a desigualdade
1<= m>=om(lambda0)<= malg(lambda0)
Quando para todo autovalor lambda0 temos m>=om(lambda0)=malg(lambda0), a matriz A é diagonalizável.

Resposta

Multiplicidade algébrica de lambda0: expoente de (lambda-lambda0) no polinômio característico chiA(lambda).
Multiplicidade geométrica de lambda0: dimensão do espaço próprio ker(A-lambda0I).

Exercícios relacionados