1.10 Parametrize a reta que contém o ponto A=(2,1,3) e que intercepta a reta x=1+t, y= 1-t, z=2 t perpendicularmente.
Solução: Seja r a reta dada no enunciado. Um vetor diretor da reta r é u=(1,-1,2). Considere o plano pi que contém A e é perpendicular ao vetor u. Se P=(x, y, z) é um ponto de pi, a equação de pi é
0=A P cdot u=(x-2, y-1, z-3) cdot(1,-1,2)=x-y+2 z-7,
ou seja, x-y+2 z=7. A interseção de pi com r ocorre para
(1+t)-(1-t)+2(2 t)=7,
ou seja t=76. O ponto B da interseção de pi com r é
B=(1+76, 1-76, 2 76)=(136,-16, 146)
A reta que procuramos tem como vetor diretor um múltiplo de
A B=(136-2,-16-1, 146-3)=(16,-76,-46),
ou seja, v=(1,-7,-4). Então a reta pedida tem equação
(x, y, z)=(2,1,3)+t(1,-7,-4),
isto é, x=2+t, y=1-7 t e z=3-4 t.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da reta que passa pelo ponto A = (2,1,3) e intercepta perpendicularmente a reta r dada por x = 1 + t, y = 1 – t, z = 2t. Vamos usar vetor diretor de r e o conceito de plano perpendicular a esse vetor.

Passo 2

O vetor diretor de r é vec u = (1, -1, 2). Para encontrar o ponto de interseção B entre a reta que procuramos e r, consideramos o plano π que passa por A e é perpendicular a vec u. Se P = (x,y,z) está em π, então APcdotvec u = 0. A equação desse plano π é
(x-2,y-1,z-3)cdot(1,-1,2)=0
que expande para
x - y + 2z - 7 = 0
ou seja, π: x - y + 2z = 7.

Passo 3

Agora, para achar o ponto B de interseção, substituímos as coordenadas paramétricas de r em π:
(1+t) - (1-t) + 2(2t) = 7
Resolvendo, obtemos t = tfrac76. Logo,
B = l(1+tfrac76,,1-tfrac76,,2cdottfrac76r) = l(tfrac136,-tfrac16,tfrac146r)

Passo 4

O vetor AB = B - A é
AB = l(tfrac136-2,,-tfrac16-1,,tfrac146-3r) = l(tfrac16,-tfrac76,-tfrac46r) Multiplicando por 6 para simplificar, escolhemos como vetor diretor vec v = (1,-7,-4).

Resposta

Uma parametrização da reta desejada é (x,y,z) = (2,1,3) + t,(1,-7,-4), ou seja x = 2 + t,; y = 1 - 7t,; z = 3 - 4t.

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