Calcular o fluxo de F atraves de S na direção N para:
N e $\vec{N}$ a normal exterior ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície S dada pela esfera x^2+y^2+z^2=4 com normal externa. O conteúdo principal é integral de superfície (fluxo) e vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de vec F através de S é igual à integral tripla do divergente de vec F sobre o volume V limitado por S:
integral duplaS vec Fcdotvec N,dS = integral triplaV (nablacdotvec F),dV

Passo 3

Calculamos o divergente de vec F. Como vec F=(x,y,z), temos
nablacdotvec F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

O volume V é o interior da esfera de raio 2. Logo
V = 43pi (2)^3 = 323pi

Passo 5

Portanto o fluxo é
integral duplaS vec Fcdotvec N,dS = integral triplaV 3,dV = 3 cdot V = 3 cdot 323pi = 32pi

Resposta

32\pi

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