Qual o trabalho realizado pela força F= x^2 i+y^2 j nos seguintes caminhos:
Do ponto (1,0) ao ponto (1,-1), ligados por uma reta.

Passo 1

Vamos calcular o trabalho realizado pela força vec F(x,y)=x^2,hat i+y^2,hat j ao longo de um caminho de (1,0) a (1,−1) ligado por uma reta. O conteúdo aqui é integral de linha para trabalho, e vamos usar a definição
W=integralCvec Fcdot dvec r

Passo 2

Como o caminho é a reta vertical de (1,0) a (1,−1), podemos parametrizar por
vec r(t)=lang<= x(t),y(t)rang<==lang<=1,-trang<=, tin[0,1]
Aqui, quando t=0 temos vec r(0)=(1,0) e quando t=1 temos vec r(1)=(1,-1).

Passo 3

Derivando a parametrização, obtemos
dvec rdt=lang<=0,-1rang<=
e assim
dvec r=lang<=0,-1rang<=,dt

Passo 4

Agora avaliamos vec F ao longo da curva:
vec F(vec r(t))=lang<= x(t)^2,y(t)^2rang<==lang<=1^2,(-t)^2rang<==lang<=1,t^2rang<=
O produto escalar é
vec F(vec r(t))cdotdvec rdt=lang<=1,t^2rang<=cdotlang<=0,-1rang<==1cdot0+t^2cdot(-1)=-t^2

Passo 5

Então o trabalho fica
W=integral0^1(-t^2),dt=-integral0^1t^2,dt=-l[t^33r]0^1=-13

Resposta

-\nfrac{1}{3}

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