Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
.
(V=116/3 u.v.)
(V=116/3 u.v.)
Passo 1
Estamos calculando a integral dupla de f(x,y) = x² + y² sobre o retângulo R = [2,4]×[-1,1]. O conteúdo envolvido é integrais duplas em regiões retangulares, usando o Teorema de Fubini e a separação de variáveis para iterar as integrais.
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever a integral dupla como uma iterada. Assim, temos:
Passo 3
Vamos calcular primeiro a integral interna em y. Como x é tratado como constante nessa etapa, usamos linearidade:
Pelos limites,
Logo, a integral interna vale
Passo 4
Agora integramos essa expressão em x de 2 a 4. Novamente, usamos linearidade:
Calculando cada parte:
Passo 5
Somando as duas parcelas, obtemos
. Portanto, o valor da integral dupla é 116/3.
Resposta
116/3