Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=x^2+y^2, R=[2,4] *[-1,1].
(V=116/3 u.v.)

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla de f(x,y) = x² + y² sobre o retângulo R = [2,4]×[-1,1]. O conteúdo envolvido é integrais duplas em regiões retangulares, usando o Teorema de Fubini e a separação de variáveis para iterar as integrais.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever a integral dupla como uma iterada. Assim, temos:
integral duplaR (x^2 + y^2),dA = integralx=2^4 integraly=-1^1 (x^2 + y^2),dy,dx

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em y. Como x é tratado como constante nessa etapa, usamos linearidade:
integraly=-1^1 (x^2 + y^2),dy = x^2 integral-1^1 dy + integral-1^1 y^2,dy
Pelos limites, integral-1^1 dy = 2 e integral-1^1 y^2,dy = l[y^3/3r]-1^1 = (1^3 - (-1)^3)/3 = 2/3.
Logo, a integral interna vale 2x^2 + 2/3.

Passo 4

Agora integramos essa expressão em x de 2 a 4. Novamente, usamos linearidade:
integral2^4 l(2x^2 + tfrac23r),dx = 2 integral2^4 x^2,dx + tfrac23 integral2^4 dx
Calculando cada parte:
2 l[tfracx^33r]2^4 = 2 cdot 4^3 - 2^33 = 2 cdot 563 = 1123,
tfrac23 [x]2^4 = tfrac23 cdot 2 = tfrac43

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos 112/3 + 4/3 = 116/3. Portanto, o valor da integral dupla é 116/3.

Resposta

116/3

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