10.) Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição seja \gamma(t). Suponha que, para todo t,\|\vec{v}(t)\| \neq 0\left(\vec{v}(t)=\gamma^{\prime}(t)\right) e seja \vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)} onde v(t)=\|\vec{v}(t)\|. Prove que a) \vec{T} e \frac{d \vec{T}}{d t} são ortogonais.
b) \vec{a}=\frac{d v}{d t} \vec{T}+\frac{v^{2}}{\rho} \vec{n}, onde \vec{n} é o versor de \frac{d \vec{T}}{d t} e \rho=\rho(t) o raio de curvatura de \gamma \mathrm{em} \gamma(t).
Passo 1
O enunciado fala de uma partícula cuja posição é dada por \gamma(t), com velocidade \vec v(t)=\gamma'(t) e rapidez v(t)=\|\vec v(t)\|\neq0. Definimos o versor tangente
\vec T(t)=\frac{\vec v(t)}{v(t)}.
Precisamos mostrar:
a) \vec T(t) e \tfrac{d\vec T}{dt} são ortogonais.
b) A aceleração \vec a(t)=\vec v'(t) se decompõe como
\vec a=\frac{dv}{dt}\,\vec T+\frac{v^{2}}{\rho}\,\vec n,
onde \vec n é o versor normal (direção de \tfrac{d\vec T}{dt}) e \rho é o raio de curvatura.
Passo 2
Para provar a ortogonalidade, note que \vec T é unitário, isto é,
\|\vec T(t)\|^{2}=\vec T(t)\cdot\vec T(t)=1.
Derivando ambos os lados em relação a t, usando regra da cadeia e produto escalar, vem
\vec n =\frac{\displaystyle \frac{d\vec T}{dt}}{\bigl\|\tfrac{d\vec T}{dt}\bigr\|} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\vec T}{dt} =v\,\kappa\,\vec n.
O raio de curvatura é \rho=1/\kappa, então
\frac{d\vec T}{dt} =\frac{v}{\rho}\,\vec n.
Passo 5
Substituindo em
\vec a =\frac{dv}{dt}\,\vec T+v\,\frac{d\vec T}{dt},
obtém-se
\vec a =\frac{dv}{dt}\,\vec T +v\!\Bigl(\frac{v}{\rho}\,\vec n\Bigr) =\frac{dv}{dt}\,\vec T+\frac{v^{2}}{\rho}\,\vec n.
Resposta
a) Como \|\vec T\|=1, derivando \vec T\cdot\vec T=1 vem \vec T\cdot\tfrac{d\vec T}{dt}=0, logo são ortogonais.
b) Pela regra do produto em \vec a=(v\vec T)' e definição de curvatura chega-se a
\vec a=\frac{dv}{dt}\,\vec T+\frac{v^{2}}{\rho}\,\vec n.