1. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva \gamma dada.
    b) \gamma(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t), t \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede reparametrizar por comprimento de arco a curva \gamma(t)=(2\cos t,2\sin t), t\ge0. Vamos usar o cálculo do comprimento de arco e inverter aquela função para expressar t em função de s.

Passo 2

Calculamos a derivada \gamma'(t)=(-2\sin t,2\cos t).
A velocidade é
\|\gamma'(t)\| =\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2} =\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t} =2.

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du =\int_{0}^{t}2\,du =2t.

Passo 4

Invertendo s=2t obtemos
t=\frac{s}{2}.

Passo 5

Substituindo t(s)=\tfrac s2 em \gamma, a reparametrização por comprimento de arco é
\alpha(s) =\gamma\bigl(t(s)\bigr) =\bigl(2\cos\frac{s}{2},\,2\sin\frac{s}{2}\bigr),
válida para s\ge0.

Resposta

\alpha(s)=(2\cos\frac{s}{2},\,2\sin\frac{s}{2}),\quad s\ge0.

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