1. Suponha $\vec{v}(t)\$ \neq 0\) para todo t\. Faça $\vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)}\$ onde v(t)=\\|\vec{v}(t)\\|\. Prove que
    b) \vec{a}=v \frac{d \vec{T}}{d t}+\frac{d v}{d t} \vec{T}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade \vec{v}(t)\neq 0 para todo t e define o vetor unitário tangente
\vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)},
onde v(t)=\|\vec{v}(t)\|. Precisamos mostrar que a aceleração \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt} satisfaz
\vec{a} = v \,\frac{d\vec{T}}{dt} + \frac{dv}{dt}\,\vec{T}.

Passo 2

Da definição de \vec{T} segue-se imediatamente que
\vec{v}(t)=v(t)\,\vec{T}(t),
isto é, a velocidade é o produto do escalar v(t) (a rapidez) pelo vetor \vec{T}(t).

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a t e usando a regra do produto para escalar vezes vetor, obtemos
\frac{d\vec{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(v\,\vec{T}\bigr) =\frac{dv}{dt}\,\vec{T} + v\,\frac{d\vec{T}}{dt}.
Como \frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}, chega-se à fórmula desejada.

Resposta

\displaystyle \vec{a} = v\,\frac{d\vec{T}}{dt} + \frac{dv}{dt}\,\vec{T}.

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