(a) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas retangulares para cilíndricas?
(b) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas?
(c) Em que situações você deve trocar para coordenadas cilindricas ou esféricas?
(b) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas?
(c) Em que situações você deve trocar para coordenadas cilindricas ou esféricas?
Passo 1
O enunciado pede para entendermos como fazemos a mudança de variáveis em uma integral tripla: primeiro para coordenadas cilíndricas e depois para esféricas, e depois em que casos cada escolha faz sentido. Vamos precisar das relações entre
e as novas variáveis e do fator de escala (Jacobeano) para substituir
.
Passo 2
Para coordenadas cilíndricas usamos as variáveis
definidas por
O Jacobeano dessa transformação é
portanto
Na prática, a integral
passa a ser
com os limites de
que descrevem
.
Passo 3
Para coordenadas esféricas usamos
onde
é a distância da origem,
o ângulo no plano
e
o ângulo medido a partir do eixo
:
O Jacobeano é
logo
Assim
com os limites de
adequados a
.
Passo 4
Em geral a escolha das coordenadas depende da simetria do problema:
- Se a região ou a função
têm simetria em torno do eixo
(por exemplo, sólidos cilíndricos, tubos, cones retos com eixo vertical), vale a pena usar coordenadas cilíndricas.
- Se a região ou
têm simetria radial total em torno da origem (esferas, calotas, regiões delimitadas por superfícies esféricas), é melhor usar coordenadas esféricas.
- Se a região
- Se a região
Resposta
(a) Use
(b) Use
(c) Troque para coordenadas cilíndricas quando há simetria em torno do eixo
; troque para esféricas quando há simetria radial em torno da origem.