(a) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas retangulares para cilíndricas?
(b) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas?
(c) Em que situações você deve trocar para coordenadas cilindricas ou esféricas?

Passo 1

O enunciado pede para entendermos como fazemos a mudança de variáveis em uma integral tripla: primeiro para coordenadas cilíndricas e depois para esféricas, e depois em que casos cada escolha faz sentido. Vamos precisar das relações entre (x,y,z) e as novas variáveis e do fator de escala (Jacobeano) para substituir dV=dx\,dy\,dz.

Passo 2

Para coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) definidas por
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.
O Jacobeano dessa transformação é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = r,
portanto
dV = dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Na prática, a integral
\iiint_{D} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
passa a ser
\iiint_{D'} f\bigl(r\cos\theta,r\sin\theta,z\bigr)\;r\,dr\,d\theta\,dz,
com os limites de r,\theta,z que descrevem D'.

Passo 3

Para coordenadas esféricas usamos (\rho,\theta,\varphi) onde \rho é a distância da origem, \theta o ângulo no plano xy e \varphi o ângulo medido a partir do eixo z:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi.
O Jacobeano é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} = \rho^{2}\sin\varphi,
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dV = dx\,dy\,dz = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Assim
\iiint_{D} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz = \iiint_{D''} f\bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi\bigr)\;\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi,
com os limites de \rho,\theta,\varphi adequados a D''.

Passo 4

Em geral a escolha das coordenadas depende da simetria do problema:
- Se a região D ou a função f(x,y,z) têm simetria em torno do eixo z (por exemplo, sólidos cilíndricos, tubos, cones retos com eixo vertical), vale a pena usar coordenadas cilíndricas.
- Se a região D ou f têm simetria radial total em torno da origem (esferas, calotas, regiões delimitadas por superfícies esféricas), é melhor usar coordenadas esféricas.

Resposta

(a) Use
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
(b) Use
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,\quad dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
(c) Troque para coordenadas cilíndricas quando há simetria em torno do eixo z; troque para esféricas quando há simetria radial em torno da origem.

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