Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y}} y \operatorname{sen} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{x=0}^{\pi}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{\sqrt{1-y}}y\sin x \,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e vamos usar a propriedade de que, se o integrando não depende de uma variável, podemos integrar diretamente em relação a ela para simplificar.

Passo 2

Integramos primeiro em z. Como o integrando y\sin x não depende de z, temos
\int_{z=0}^{\sqrt{1-y}}y\sin x \,dz = y\sin x\int_{0}^{\sqrt{1-y}}dz = y\sin x\bigl[\sqrt{1-y}-0\bigr] = y\sin x\sqrt{1-y}.
Logo a integral tripla vira
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}y\sin x\sqrt{1-y}\,dy\,dx.

Passo 3

Agora separamos a integração em x e y, pois são fatores multiplicativos:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}y\sqrt{1-y}\,dy.
Calculamos primeiro
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr)-\bigl(-\cos0\bigr) = (-(-1))-(-1) = 2.

Passo 4

Agora calculamos
\int_{0}^{1}y\sqrt{1-y}\,dy.
Fazemos a substituição t=1-y, logo dy=-dt e quando y=0 temos t=1, quando y=1 temos t=0. Assim
\int_{0}^{1}y\sqrt{1-y}\,dy = \int_{t=1}^{0}(1-t)\sqrt{t}\,(-dt) = \int_{0}^{1}(1-t)t^{1/2}\,dt = \int_{0}^{1}\bigl(t^{1/2}-t^{3/2}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}t^{3/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}, \qquad \int_{0}^{1}t^{3/2}\,dt = \frac{2}{5}t^{5/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
Subtraindo,
\int_{0}^{1}y\sqrt{1-y}\,dy = \frac{2}{3}-\frac{2}{5} = \frac{10-6}{15} = \frac{4}{15}.

Passo 5

Multiplicamos os dois resultados:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx \;\times\; \int_{0}^{1}y\sqrt{1-y}\,dy = 2 \times \frac{4}{15} = \frac{8}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{15}

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