(10.) Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição seja \gamma(t). Suponha que, para todo t,\|\vec{v}(t)\| \neq 0\left(\vec{v}(t)=\gamma^{\prime}(t)\right) e seja \vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)} onde v(t)=\|\vec{v}(t)\|. Prove que a) \vec{T} e \frac{d \vec{T}}{d t} são ortogonais.
b) \vec{a}=\frac{d v}{d t} \vec{T}+\frac{v^{2}}{\rho} \vec{n}, onde \vec{n} é o versor de \frac{d \vec{T}}{d t} e \rho=\rho(t) o raio de curvatura de \gamma \mathrm{em} \gamma(t).
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula tem trajetória \gamma(t) com velocidade \vec v(t)=\gamma'(t) e módulo v(t)=\|\vec v(t)\|\neq0. Definimos o versor tangente
\vec T(t)=\frac{\vec v(t)}{v(t)}.
Vamos mostrar primeiro que \vec T e \dfrac{d\vec T}{dt} são ortogonais e depois decompor a aceleração em componentes tangencial e normal.
Passo 2
Como \vec T é unitário, vale
\vec T(t)\cdot\vec T(t)=1.
Derivando em função de t, usando produto escalar, obtemos