(10.) Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição seja \gamma(t). Suponha que, para todo t,\|\vec{v}(t)\| \neq 0\left(\vec{v}(t)=\gamma^{\prime}(t)\right) e seja \vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)} onde v(t)=\|\vec{v}(t)\|. Prove que a) \vec{T} e \frac{d \vec{T}}{d t} são ortogonais.
b) \vec{a}=\frac{d v}{d t} \vec{T}+\frac{v^{2}}{\rho} \vec{n}, onde \vec{n} é o versor de \frac{d \vec{T}}{d t} e \rho=\rho(t) o raio de curvatura de \gamma \mathrm{em} \gamma(t).

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula tem trajetória \gamma(t) com velocidade \vec v(t)=\gamma'(t) e módulo v(t)=\|\vec v(t)\|\neq0. Definimos o versor tangente
\vec T(t)=\frac{\vec v(t)}{v(t)}.
Vamos mostrar primeiro que \vec T e \dfrac{d\vec T}{dt} são ortogonais e depois decompor a aceleração em componentes tangencial e normal.

Passo 2

Como \vec T é unitário, vale
\vec T(t)\cdot\vec T(t)=1.
Derivando em função de t, usando produto escalar, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(\vec T\cdot\vec T\bigr) =2\,\vec T\cdot\frac{d\vec T}{dt}=0.
Logo
\vec T\cdot\frac{d\vec T}{dt}=0,
o que mostra a ortogonalidade desejada.

Passo 3

A aceleração é
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(v\,\vec T\bigr).
Usando a regra do produto, obtemos
\vec a =\frac{dv}{dt}\,\vec T+v\,\frac{d\vec T}{dt}.

Passo 4

Para interpretar \tfrac{d\vec T}{dt}, lembramos que a curvatura é
\kappa(t)=\Bigl\|\frac{d\vec T}{ds}\Bigr\|,
onde s é o arco-parametrizado, e ds/dt=v. Assim
\frac{d\vec T}{dt} =\frac{d\vec T}{ds}\,\frac{ds}{dt} =\kappa\,v\,\vec n,
sendo \vec n o versor normal (supondo \tfrac{d\vec T}{dt}\neq0). Definimos o raio de curvatura \rho=1/\kappa. Então
v\,\frac{d\vec T}{dt} =v\,(\kappa\,v\,\vec n) =\frac{v^2}{\rho}\,\vec n.
Substituindo em \vec a chega-se à decomposição final.

Resposta

a) \displaystyle \vec T\cdot\frac{d\vec T}{dt}=0.
b) \displaystyle \vec a=\frac{dv}{dt}\,\vec T+\frac{v^2}{\rho}\,\vec n.

Exercícios relacionados