(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade.
f(x, y)=-3 x^{2}+2 x y-y^{2}+3 x-4 y+1;

Passo 1

Temos a função de duas variáveis
f(x,y) = -3x^{2} + 2xy - y^{2} + 3x - 4y + 1
e queremos classificar sua convexidade/concavidade. Para isso, vamos usar a matriz Hessiana de f, que reúne as segundas derivadas parciais, e verificar se ela é definida positiva, definida negativa ou indefinida.

Passo 2

Calcular as segundas derivadas parciais de f:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = -6, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = -2, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} = 2.
Logo, a matriz Hessiana é
H(f)(x,y) = \begin{pmatrix} -6 & 2\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para verificar se H(f) é definida positiva ou definida negativa, usamos os menores principais:
  1. O primeiro menor principal é \Delta_{1} = -6.
  2. O determinante é
\det H(f) = (-6)\cdot(-2) - 2^{2} = 12 - 4 = 8.
Como \Delta_{1} = -6 < 0 e \det H(f)=8>0, concluímos que os autovalores são ambos negativos. Assim, H(f) é definida negativa.

Passo 4

Como a Hessiana é definida negativa em todo o domínio, a função f é estritamente côncava.
  • Uma função estritamente côncava é também côncava e quase-côncava.
  • Não pode ser convexa nem quase-convexa (pois convexidade exigiria Hessiana definida positiva ou semidefinida positiva).

Resposta

A função f é estritamente côncava; consequentemente, ela é côncava e quase-côncava, mas não é convexa nem quase-convexa.

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