(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade.
;
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar a função
quanto à sua convexidade/concavidade e quase-convexidade/quase-concavidade. Aqui o domínio é
e vamos usar o critério da segunda derivada: se
em todo o domínio, então
é convexa; se
, então é côncava. Além disso, função convexa implica quase-convexa, e função côncava implica quase-concava.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
.
Como ,
e
, obtemos
Como
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- de
vem , - de
vem , - de
vem .
Logo,
Passo 4
No domínio
, cada parcela em
é estritamente positiva:
Portanto
para todo
. Isso implica que
é estritamente convexa em
. Em consequência,
também é quase-convexa. Como
nunca é negativa,
não é côncava nem quase-concava.
Resposta
A função é estritamente convexa em
e, consequentemente, quase-convexa. Não é côncava nem quase-concava.