(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade.
f(x)=3 e^{x}+5 x^{4}-\ln x;

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a função
f(x) = 3e^{x} + 5x^{4} - \ln x
quanto à sua convexidade/concavidade e quase-convexidade/quase-concavidade. Aqui o domínio é x>0 e vamos usar o critério da segunda derivada: se f''(x)\ge0 em todo o domínio, então f é convexa; se f''(x)\le0, então é côncava. Além disso, função convexa implica quase-convexa, e função côncava implica quase-concava.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada \,f'(x).
Como \frac{d}{dx}e^x=e^x, \frac{d}{dx}x^4=4x^3 e \frac{d}{dx}(-\ln x)=-1/x, obtemos
f'(x) = 3e^{x} + 20x^{3} - \frac{1}{x}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada \,f''(x).
Derivando termo a termo:
  • de 3e^x vem 3e^x,
  • de 20x^3 vem 60x^2,
  • de -1/x vem +1/x^2.
    Logo,
f''(x) = 3e^{x} + 60x^{2} + \frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

No domínio x>0, cada parcela em f''(x) é estritamente positiva:
3e^{x} > 0,\quad 60x^{2}>0,\quad \frac{1}{x^{2}}>0.
Portanto f''(x)>0 para todo x>0. Isso implica que f é estritamente convexa em (0,\infty). Em consequência, f também é quase-convexa. Como f'' nunca é negativa, f não é côncava nem quase-concava.

Resposta

A função é estritamente convexa em (0,\infty) e, consequentemente, quase-convexa. Não é côncava nem quase-concava.

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