Dizemos que uma curva δ:[α, β] \rightarrow \mathbb{R}^{n}, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se \left\|δ^{\prime}(s)\right\|=1, para todo s \in[α, β]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s.
δ(s)=\left(\frac{s}{\sqrt{5}}, \frac{2 s}{\sqrt{5}}\right), s \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\delta(s)=\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2s}{\sqrt{5}}\bigr),\quad s\ge0
e pede para verificar que ela está parametrizada por comprimento de arco (isto é, \|\delta'(s)\|=1 para todo s) e interpretar o parâmetro s.

Passo 2

Calculamos a derivada de \delta:
\delta'(s)=\Bigl(\tfrac{d}{ds}\tfrac{s}{\sqrt{5}},\,\tfrac{d}{ds}\tfrac{2s}{\sqrt{5}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
Então o comprimento de \delta'(s) é
\|\delta'(s)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1+4}{5}} =\sqrt{1} =1.
Logo \|\delta'(s)\|=1 em todo s, ou seja, é parametrização pelo comprimento de arco.

Passo 3

O comprimento do arco desde s=0 até um valor genérico s é
L(s)=\int_{0}^{s}\|\delta'(t)\|\,dt =\int_{0}^{s}1\,dt =s.
Isso mostra que o próprio parâmetro s mede a distância ao longo da curva desde o ponto inicial \delta(0)=(0,0).

Resposta

A curva está parametrizada por comprimento de arco porque \|\delta'(s)\|=1 para todo s, e o parâmetro s representa exatamente o comprimento do arco desde o ponto inicial.

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