Dizemos que uma curva
, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se
, para todo
. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede para verificar que ela está parametrizada por comprimento de arco (isto é,
para todo
) e interpretar o parâmetro
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Então o comprimento de
é
Logo
em todo
, ou seja, é parametrização pelo comprimento de arco.
Passo 3
O comprimento do arco desde
até um valor genérico
é
Isso mostra que o próprio parâmetro
mede a distância ao longo da curva desde o ponto inicial
.
Resposta
A curva está parametrizada por comprimento de arco porque
para todo
, e o parâmetro
representa exatamente o comprimento do arco desde o ponto inicial.