1. Seja \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva derivável até a 2 .^{\text {a }} ordem, com li \gamma^{\prime}(t) \| \neq 0 no intervalo I. Seja
    s=\int_{t_{0}}^{t}\left\|\gamma^{\prime}(u)\right\| d u, t \in I, \operatorname{com} t_{0} fixo em I. Sejam, ainda, \vec{T}(t)=\frac{\gamma^{\prime}(t)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|} o versor de \gamma^{\prime}(t) e \vec{t}(s) dada por \vec{t}(s)=\vec{T}(t), onde t=t(s). Mostre que
    a) \frac{d \vec{T}}{d t}(t)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
    b) \frac{d \vec{t}}{d s}(s)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{4}}, t=t(s).
    c) \|_{\text {onde } t=t(s) .} \underset{d \vec{t}}{d s}(s)=\sqrt{\frac{d \vec{t}}{d s}(s) \cdot \frac{d \vec{t}}{d s}(s)}=\frac{\sqrt{\left(\left\|\gamma^{\prime \prime}(t)\right\|\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|\right)^{2}-\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)^{2}}}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}},
Observação. O número k(s)=\left\|\frac{d \vec{t}}{d s}(s)\right\| denomina-se curvatura da curva \gamma no ponto \gamma(t), t=t(s). Se k(s) \neq 0, o número \rho(s)=\frac{1}{k(s)} é o raio de curvatura de \gamma em \gamma(t), t=t(s). A motivação geométrica para tal definição é a seguinte: para \Delta s suficientemente pequeno o tre cho P Q (de comprimento \Delta s ) da curva \gamma pode ser olhado como um arco de circunferência de centro 0 e raio \rho(s) (aproximadamente). Sendo \Delta \theta (radianos) o ângulo entre os vetores \vec{t}(s) e \vec{t}(s+\Delta s), segue que \Delta \theta será, então, a medida do ângulo P O Q.

Passo 1

O enunciado trata da curva \gamma:I\to\mathbb{R}^2 com velocidade \gamma'(t)\neq 0 e define o arco-comprimento
s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du,
o versor tangente \displaystyle \vec T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}
e sua reparametrização por s, isto é \vec t(s)=\vec T(t(s)).
Vamos usar derivação de quociente de vetores, regra da cadeia e propriedades do produto escalar para encontrar:
a) \dfrac{d\vec T}{dt},
b) \dfrac{d\vec t}{ds},
c) seu módulo \bigl\|\tfrac{d\vec t}{ds}\bigr\|.

Passo 2

Para (a) aplicamos a regra do quociente a \displaystyle \vec T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}.
Primeiro,
\frac{d}{dt}\|\gamma'(t)\| =\frac{\gamma'(t)\cdot\gamma''(t)}{\|\gamma'(t)\|}.
Então
\frac{d\vec T}{dt} =\frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|-\gamma'(t)\,\frac{d}{dt}\|\gamma'(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^2} =\frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|-\gamma'(t)\,\frac{\gamma'(t)\cdot\gamma''(t)}{\|\gamma'(t)\|}}{\|\gamma'(t)\|^2}.
Colocando sobre o mesmo denominador \|\gamma'(t)\|^3 obtemos
\frac{d\vec T}{dt} =\frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|^2-\gamma'(t)\,(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t))}{\|\gamma'(t)\|^3}.

Passo 3

Para (b) usamos que \vec t(s)=\vec T\bigl(t(s)\bigr). Pela regra da cadeia,
\frac{d\vec t}{ds} =\frac{d\vec T}{dt}\,\frac{dt}{ds}.
Como s'=ds/dt=\|\gamma'(t)\|, temos dt/ds=1/\|\gamma'(t)\|. Substituindo o resultado de (a):
\frac{d\vec t}{ds} =\frac{1}{\|\gamma'(t)\|}\, \frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|^2-\gamma'(t)\,(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t))}{\|\gamma'(t)\|^3} =\frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|^2-\gamma'(t)\,(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t))}{\|\gamma'(t)\|^4}.

Passo 4

Para (c) calculamos o módulo de \displaystyle \frac{d\vec t}{ds}=\frac{A}{\|\gamma'\|^4}, onde A=\gamma''\,\|\gamma'\|^2-\gamma'\,(\gamma''\cdot\gamma').
Note que
\|A\|^2 =(\|\gamma'\|^2)^2\|\gamma''\|^2-2\|\gamma'\|^2(\gamma''\cdot\gamma')^2+(\gamma''\cdot\gamma')^2\|\gamma'\|^2 =\|\gamma'\|^2\bigl(\|\gamma'\|^2\|\gamma''\|^2-(\gamma''\cdot\gamma')^2\bigr).
Logo
\Bigl\|\frac{d\vec t}{ds}\Bigr\| =\frac{\|A\|}{\|\gamma'\|^4} =\frac{\sqrt{\|\gamma'\|^2\bigl(\|\gamma'\|^2\|\gamma''\|^2-(\gamma''\cdot\gamma')^2\bigr)}}{\|\gamma'\|^4} =\frac{\sqrt{\bigl(\|\gamma''\|\|\gamma'\|\bigr)^2-(\gamma''\cdot\gamma')^2}}{\|\gamma'\|^3}.

Resposta

(a) \frac{d\vec T}{dt}(t) =\frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|^2-\gamma'(t)\,(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t))}{\|\gamma'(t)\|^3}.
(b) \frac{d\vec t}{ds}(s) =\frac{\gamma''(t)\,\|\gamma'(t)\|^2-\gamma'(t)\,(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t))}{\|\gamma'(t)\|^4}, \quad t=t(s).
(c) \Bigl\|\frac{d\vec t}{ds}(s)\Bigr\| =\frac{\sqrt{\bigl(\|\gamma''(t)\|\|\gamma'(t)\|\bigr)^2-(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t))^2}}{\|\gamma'(t)\|^3}, \quad t=t(s).

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