2.10-Numa pequena coluna de paredes molhadas de 30 cm de altura e 3 cm de diâmetro efectua-se a purificação de uma corrente de ar contaminada com vapores de NH3. O fluido absorvente é água que circula num filme descendente de espessura 0,07 cm, e com um perfil de velocidades ( cm / s ) igual a vz(x)=4.5 cm / s times[1-(x / 0.07
\left.\mathrm{cm})^{2}\right]). Considere que a solubilidade de NH3 em água é igual a 1.16 times 10^-4 mol cm^-3 e que a difusividade de NH3 em água é de 1.6 times 10^-5 cm^2 s^-1.
a) Escreva a equação diferencial e as condições fronteira que descrevem o transporte de NH3 através da solução em estado estacionário.
b) Calcule a taxa de remoção de NH3 da fase gasosa.
c) Considere que a corrente de ar à entrada tem uma concentração de NH3 igual a 2 times 10^-6 mol cm^-3, e que circula a uma velocidade de 40 cm s^-1. Calcule a concentração de NH3 à saída.

Passo 1

O enunciado trata da absorção de NH3 numa película descendente de água num tubo de diâmetro interno Drm col=3,cm e altura L=30,cm. A espessura da película é de<a=0,07,cm e o perfil de velocidade é
vz(x)=4,5l[1-(x/de<a)^2r](cm/s), 0<= x<=de<a
A solubilidade (coeficiente de distribuição) é
m=CL,iCG=1,16times10^-4 l(mol/cm^3,(líquido)/mol/cm^3,(gás)r), íá
e a difusividade em água é D=1,6times10^-5,cm ^2/s.
Conteúdo: balanço de massa em película estacionária, com convecção em z e difusão em x, e balanço de massa global no gás.

Passo 2

Como a película é muito fina, usamos uma concentração média ao longo da espessura,
CL(z)=tfrac1de<aintegral0^de<aCL(x,z),dx,
e aproximamos o perfil por um balanço plug--flow no sentido z. Em regime permanente, o balanço na película dá
vrm avg,dCLdz ;=; J(z)de<a,
once vrm avg=1de<aintegral0^de<a vz(x),dx e
J(z)=-Dpartial CLpartial x|x=de<a approx Dde<al(CL,i-CL(z)r)
Aqui CL,i(z) é a concentração na interface, igualada à do gás pela lei de Henry:
CL,i(z)=m,CG(z)
No líquido que entra (topo, z=0) temos água “limpa”:
CL(0)=0

Passo 3

Substituindo a expressão de J no balanço:
vrm avg,dCLdz =Dde<a^2l(m,CG(z)-CL(z)r)
Calculamos primeiro
vrm avg =1de<aintegral0^de<a4,5l[1-(x/de<a)^2r]dx =4,5l[1-tfrac13r]=3 cm/s
Para cada z, trataremos provisoriamente m,CG(z) como constante local e depois faremos o balanço no gás.

Passo 4

Resolvendo para CL(z) com m,CG constante:
dCLdz +Dde<a^2,vrm avg, CL =Dde<a^2,vrm avg,m,CG
Solução geral (condição CL(0)=0):
CL(z) = m,CGl[ 1-expl(-tfracDde<a^2,vrm avg,zr) r]
O fluxo local é
J(z)=Dde<al(m,CG-CL(z)r) =D,m,CGde<a, exp!l(-tfracDde<a^2,vrm avg,zr)

Passo 5

Balanço global no gás (fluxo de volume QG=uGArm cs, com uG=40,cm/s e Arm cs=pi(1,5)^2=7,069,cm ^2) em regime permanente, num elemento dz:
QG,dCGdz =-2pi r,J(z),
once 2pi r,dz é o perímetro do tubo vezes dz. Como r=1,5,cm, o perímetro é 2picdot1,5.
Substituindo J(z) e separando variáveis:
dCGCG,e^-,alpha z =-2pi r,D,mQG,de<a,dz, alpha=Dde<a^2,vrm avg
Integrando de z=0 (entrada do gás) com CG(0)=CG,rm in até z=L
lnCG,rm outCG,rm in +alpha L =-2pi r,D,mQG,de<a,L
Numeração dos termos:
alpha=1,6times10^-5(0,07)^2cdot3 =1,088times10^-3,cm^-1,
2pi r,D,mQG,de<a =2picdot1,5cdot1,6times10^-5cdot1,16times10^-4 (40cdot7,069)cdot0,07 approx1,04times10^-6,cm^-1
Logo
lnCG,rm out2,0times10^-6 +1,088times10^-3cdot30 =-1,04times10^-6cdot30
Numericamente, 1,088times10^-3cdot30=0,0326, e 1,04times10^-6cdot30=3,12times10^-5.
Então
lnCG,rm out2,0times10^-6 =-0,0326-0,0000312 =-0,03263 Longrightarrow CG,rm out2,0times10^-6 =e^-0,03263=0,9679
Daí
CG,rm out=2,0times10^-6times0,9679 =1,936times10^-6 mol/cm^3

Passo 6

Taxa total de remoção no gás é
N =QGl(CG,rm in-CG,rm outr) =40cdot7,069l(2,0-1,936r)times10^-6 approx40cdot7,069cdot0,064times10^-6 approx1,81times10^-5 mol/s

Resposta

a) Em regime permanente na película:
vz(x),partial CLpartial z = D,partial^2 CLpartial x^2, 0<= x<=de<a,
com
partial CL/partial x|x=0=0,
CL(x=de<a,z)=m,CG(z),
e CL(x,z=0)=0.
No gás:
QG,dCGdz =-2pi r,l[-D,partial CL/partial xr]x=de<a
b) A taxa de remoção de NH3 é
Napprox1,81times10^-5 mol/s
c) A concentração de NH3 na saída do gás é
CG,rm outapprox1,936times10^-6 mol/cm^3

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