( 10 pontos) Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A(1,-1), B(2,2) e C=(4,0).

Passo 1

O enunciado pede a área de um paralelogramo cujos três vértices consecutivos são A(1,-1), B(2,2) e C(4,0). Em geometria vetorial no plano, se A, B e C são vértices consecutivos, então os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} formam dois lados adjacentes do paralelogramo, e sua área vale o valor absoluto do determinante desses vetores:
\text{Área} = \bigl|\det(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC})\bigr|.Á

Passo 2

Calculamos o vetor \overrightarrow{AB} subtraindo as coordenadas de A das de B:
\overrightarrow{AB} = (2-1,\;2-(-1)) = (1,\;3).
De modo análogo, o vetor \overrightarrow{BC} é
\overrightarrow{BC} = (4-2,\;0-2) = (2,\;-2).

Passo 3

O determinante de dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) no plano é
\det\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) = x_1\,y_2 - y_1\,x_2.
Aplicando a \overrightarrow{AB}=(1,3) e \overrightarrow{BC}=(2,-2),
\det(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC}) = 1\cdot(-2) \;-\; 3\cdot2 = -2 \;-\;6 = -8.

Passo 4

A área do paralelogramo é o valor absoluto desse determinante:
\text{Área} = \bigl|-8\bigr| = 8.Á

Resposta

A área do paralelogramo vale 8.

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