(30 pontos) Considere as retas cujas equações são dadas por:
\begin{aligned} r:(x, y, z)=(1,0,-1)+t(1,0,0) & s: \begin{cases}y & =2 x \\\ z & =x-3\end{cases} \\\ p:\left\{\begin{array}{l} x=3+t \\\ y=1-3 t \\\ z=1 \end{array}\right. & u:\left\{\begin{aligned} \frac{y+1}{2} & =\frac{z-3}{-2} \\\ x & =\frac{2}{2} \end{aligned}\right. \end{aligned}
Faça o que se pede em cada item:
a) Citar um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas definidas acima.
b) Determine o ponto de interseção das retas s e p.
c) Verifique se as retas r e u são ortogonais.
d) Considere o paralelogramo definido pelos pontos que você citou no item (a). Calcule a área deste paralelogramo.
e) Verifique a posição relativa das retas r e p (paralelas, concorrentes ou reversas).
Vamos identificar para cada reta um ponto e um vetor diretor (item a), depois resolver cada questão pedida.
Passo 2
a) Um ponto P e o vetor diretor \mathbf v de cada reta:
r: P_r=(1,0,-1), \mathbf v_r=(1,0,0).
s: parametrize x=\lambda\implies y=2\lambda,\;z=\lambda-3. Então \;P_s=(0,0,-3), \mathbf v_s=(1,2,1).
p: já vem em forma paramétrica com parâmetro t. Em t=0 \;P_p=(3,1,1), \mathbf v_p=(1,-3,0).
u: escreva \dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-2}=s, então y=-1+2s,\;z=3-2s e x=1. Em s=0: \;P_u=(1,-1,3), \mathbf v_u=(0,2,-2).
Passo 3
b) Para achar interseção de s e p equacione
(0,0,-3)+\lambda(1,2,1)\;=\;(3+t,\,1-3t,\,1).
Das componentes z vem \lambda-3=1\implies\lambda=4.
Então x dá 4=3+t\implies t=1, mas y daria 2\cdot4=8 contra 1-3\cdot1=-2.
Não há solução comum: as retas s e p não se intersectam.
e) Posição relativa de r e p:
– \mathbf v_r=(1,0,0) e \mathbf v_p=(1,-3,0) não são múltiplos, então não são paralelas.
– Para ver se concorrem, iguale (1,0,-1)+t(1,0,0) a (3+s,1-3s,1). Da componente z vem -1=1, impossível.
Portanto não se cruzam nem são paralelas: são retas reversas (skew).
Resposta
a)
r: P_r=(1,0,-1), \mathbf v_r=(1,0,0).
s: P_s=(0,0,-3), \mathbf v_s=(1,2,1).
p: P_p=(3,1,1), \mathbf v_p=(1,-3,0).
u: P_u=(1,-1,3), \mathbf v_u=(0,2,-2).
b) s e p não se intersectam.
c) Sim, r\perp u.
d) Área do paralelogramo =2\sqrt2.
e) As retas r e p são reversas (skew).