(30 pontos) Considere as retas cujas equações são dadas por:
\begin{aligned} r:(x, y, z)=(1,0,-1)+t(1,0,0) & s: \begin{cases}y & =2 x \\\ z & =x-3\end{cases} \\\ p:\left\{\begin{array}{l} x=3+t \\\ y=1-3 t \\\ z=1 \end{array}\right. & u:\left\{\begin{aligned} \frac{y+1}{2} & =\frac{z-3}{-2} \\\ x & =\frac{2}{2} \end{aligned}\right. \end{aligned}
Faça o que se pede em cada item:
a) Citar um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas definidas acima.
b) Determine o ponto de interseção das retas s e p.
c) Verifique se as retas r e u são ortogonais.
d) Considere o paralelogramo definido pelos pontos que você citou no item (a). Calcule a área deste paralelogramo.
e) Verifique a posição relativa das retas r e p (paralelas, concorrentes ou reversas).

Passo 1

O enunciado dá quatro retas em \mathbb{R}^3:
\begin{aligned} r:&\;(x,y,z)=(1,0,-1)+t\,(1,0,0),\\\ s:&\;\begin{cases}y=2x,\z=x-3,\end{cases}\\\ p:&\;\begin{cases}x=3+t,\y=1-3t,\z=1,\end{cases}\\\ u:&\;\begin{cases}\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-2},\x=1.\end{cases} \end{aligned}
Vamos identificar para cada reta um ponto e um vetor diretor (item a), depois resolver cada questão pedida.

Passo 2

a) Um ponto P e o vetor diretor \mathbf v de cada reta:
r:  P_r=(1,0,-1),  \mathbf v_r=(1,0,0).
s: parametrize x=\lambda\implies y=2\lambda,\;z=\lambda-3. Então \;P_s=(0,0,-3),  \mathbf v_s=(1,2,1).
p: já vem em forma paramétrica com parâmetro t. Em t=0 \;P_p=(3,1,1),  \mathbf v_p=(1,-3,0).
u: escreva \dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-2}=s, então y=-1+2s,\;z=3-2s e x=1. Em s=0: \;P_u=(1,-1,3),  \mathbf v_u=(0,2,-2).

Passo 3

b) Para achar interseção de s e p equacione
(0,0,-3)+\lambda(1,2,1)\;=\;(3+t,\,1-3t,\,1).
Das componentes z vem \lambda-3=1\implies\lambda=4.
Então x dá 4=3+t\implies t=1, mas y daria 2\cdot4=8 contra 1-3\cdot1=-2.
Não há solução comum: as retas s e p não se intersectam.

Passo 4

c) Verificar se r e u são ortogonais:
\mathbf v_r\cdot\mathbf v_u =(1,0,0)\cdot(0,2,-2)=1\cdot0+0\cdot2+0\cdot(-2)=0.
Como o produto escalar é zero, r\perp u.

Passo 5

d) O paralelogramo definido pelos vetores diretores de r e u tem área igual a \bigl\|\mathbf v_r\times\mathbf v_u\bigr\|.
Calcule
\mathbf v_r\times\mathbf v_u =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&0&0\\\\ 0&2&-2 \end{vmatrix} =(0\cdot(-2)-0\cdot2)\,\mathbf i -\bigl(1\cdot(-2)-0\cdot0\bigr)\,\mathbf j +(1\cdot2-0\cdot0)\,\mathbf k =(0,2,2).
Logo
\bigl\|\mathbf v_r\times\mathbf v_u\bigr\| =\sqrt{0^2+2^2+2^2} =\sqrt{8} =2\sqrt2.

Passo 6

e) Posição relativa de r e p:
\mathbf v_r=(1,0,0) e \mathbf v_p=(1,-3,0) não são múltiplos, então não são paralelas.
– Para ver se concorrem, iguale (1,0,-1)+t(1,0,0) a (3+s,1-3s,1). Da componente z vem -1=1, impossível.
Portanto não se cruzam nem são paralelas: são retas reversas (skew).

Resposta

a)
r: P_r=(1,0,-1), \mathbf v_r=(1,0,0).
s: P_s=(0,0,-3), \mathbf v_s=(1,2,1).
p: P_p=(3,1,1), \mathbf v_p=(1,-3,0).
u: P_u=(1,-1,3), \mathbf v_u=(0,2,-2).
b) s e p não se intersectam.
c) Sim, r\perp u.
d) Área do paralelogramo =2\sqrt2.
e) As retas r e p são reversas (skew).

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