( 10 pontos) Verifique se o vetor \vec{u}=(2,-2,-1 ) é combinação linear dos vetores \vec{v}=(1,0,-1), \vec{w}=(2,-3,1) e \vec{p}=(5,-4,0).

Passo 1

O enunciado pergunta se existe escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
(2,-2,-1)=\alpha\,(1,0,-1)+\beta\,(2,-3,1)+\gamma\,(5,-4,0).
O conteúdo é combinação linear e vamos resolver o sistema para \alpha,\beta,\gamma.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 5\gamma = 2,\\\\ -3\beta - 4\gamma = -2,\\\\ -\alpha + \beta = -1. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação,
-\,\alpha + \beta = -1 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \alpha - 1.

Passo 4

Substituindo \beta = \alpha - 1 nas outras duas equações:
Substituindo na segunda:
-3(\alpha - 1) - 4\gamma = -2 \quad\Longrightarrow\quad -3\alpha + 3 - 4\gamma = -2 \quad\Longrightarrow\quad 3\alpha + 4\gamma = 5.
Substituindo na primeira:
\alpha + 2(\alpha - 1) + 5\gamma = 2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha + 2\alpha - 2 + 5\gamma = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3\alpha + 5\gamma = 4.

Passo 5

Temos agora o sistema em \alpha,\gamma\): \[\begin{cases} 3\alpha + 4\gamma = 5,\\\\ 3\alpha + 5\gamma = 4. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda, vem \gamma = -1\]. Então, em \(3\alpha + 4\gamma = 5,
3\alpha + 4(-1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3\alpha = 9 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 3.

Passo 6

De \beta = \alpha - 1 segue
\beta = 3 - 1 = 2.

Passo 7

Encontramos \alpha=3, \beta=2 e \gamma=-1, logo existe combinação linear.

Resposta

Sim. \displaystyle \vec{u}=3\vec{v}+2\vec{w}-1\vec{p}.

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