( 10 pontos) Verifique se os vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,5,6) e \vec{w}=(2,1,0) são linearmente independentes ou linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,5,6) e \vec{w}=(2,1,0) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo usado será definição de combinação linear e teste pelo determinante de uma matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores.

Passo 2

Vamos montar a matriz M cujas colunas são \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2\\\\ 2 & 5 & 1\\\\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Sabemos que em \mathbb{R}^3 esses vetores são linearmente independentes se, e somente se, \det(M)\neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 6 & 0\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 3 & 6\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 6 & 0\end{pmatrix} =5\cdot0 - 1\cdot6 = -6,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 0\end{pmatrix} =2\cdot0 - 1\cdot3 = -3,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 3 & 6\end{pmatrix} =2\cdot6 - 5\cdot3 = 12-15 = -3.
Substituindo:
\det(M) = 1\cdot(-6) \;-\;4\cdot(-3)\;+\;2\cdot(-3) = -6 +12 -6 = 0.

Passo 4

Como \det(M)=0\), concluímos que existe combinação linear não trivial \[a\,\vec{u} + b\,\vec{v} + c\,\vec{w} = \vec{0} \quad\text{com pelo menos um de }a,b,c\neq0.
Para achar uma relação explícita, resolvemos
\begin{cases} a +4b +2c = 0,\\\\ 2a+5b +c = 0,\\\\ 3a+6b +0c = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem a+2b=0\Rightarrow a=-2b\]. Substituindo na segunda obtém-se \(b+c=0\Rightarrow c=-b. Tomando b=1 achamos
a=-2,\quad b=1,\quad c=-1,
ou seja -2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w} = \vec{0}, confirmando a dependência.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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