(10,0 pontos) Calcule a função f(t) (transformada inversa de Fourier)
f(t)=F^-1-13(3+i omega)(2+5 i omega)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função f(t) , que é a transformada inversa de Fourier da expressão dada:
f(t) = F^-1-13(3+i omega)(2+5 i omega)
Então, vamos trabalhar com Transformadas de Fourier, que são usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão no denominador e usar propriedades das transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão no denominador tem dois fatores lineares em iomega :
(3 + i omega) e (2 + 5i omega)
Podemos reescrever a fração como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
-13(3+i omega)(2+5 i omega) = A3 + i omega + B2 + 5i omega

Passo 3

Para encontrar A e B , multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora (3 + i omega)(2 + 5i omega) :
-13 = A(2 + 5i omega) + B(3 + i omega)
Agora, precisamos resolver para A e B . Podemos escolher valores de omega que simplifiquem a equação.

Passo 4

Vamos primeiro escolher omega tal que 3 + i omega = 0 . Isso acontece quando i omega = -3 ou omega = -3i . Substituindo na equação:
-13 = A(2 + 5i (-3i)) + B(0)
Simplificando:
-13 = A(2 + 15) Rightarrow -13 = 17A Rightarrow A = -1317

Passo 5

Agora, vamos escolher omega tal que 2 + 5i omega = 0 . Isso ocorre quando 5i omega = -2 ou omega = -25i . Substituindo na equação:
-13 = A(0) + B(3 + i (-25i))
Simplificando:
-13 = B(3 + 25) Rightarrow -13 = 175B Rightarrow B = -6517

Passo 6

Agora que encontramos A e B , podemos reescrever a fração original:
-13(3+i omega)(2+5 i omega) = -1317 cdot 13 + i omega - 6517 cdot 12 + 5i omega

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Fourier a cada termo separadamente. Sabemos que:
F^-11a + i omega = e^-a t u(t)
onde u(t) é a função degrau de Heaviside. Aplicando isso aos nossos termos:
f(t) = -1317 e^-3 t u(t) - 6517 e^-25 t u(t)

Resposta

A função f(t) é dada por:
f(t) = -1317 e^-3 t u(t) - 6517 e^-25 t u(t)

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