(10,0 pontos) Calcule a função
(transformada inversa de Fourier)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função
, que é a transformada inversa de Fourier da expressão dada:
Então, vamos trabalhar com Transformadas de Fourier, que são usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão no denominador e usar propriedades das transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão no denominador tem dois fatores lineares em
:
Podemos reescrever a fração como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora
:
Agora, precisamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Vamos primeiro escolher
tal que
. Isso acontece quando
ou
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos escolher
tal que
. Isso ocorre quando
ou
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Fourier a cada termo separadamente. Sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside. Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A função
é dada por: