Um fabricante de garrafas, ao analisar o ritmo da sua produção, observou que suas máquinas produziam, aproximadamente, uma quantidade de garrafas segundo a lei da função:
G(t)=200+80 sen(pi t6+pi3), onde G(t) representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas.
Qual é a produção máxima (por hora) das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre?
A 200 garrafas à 1 h e às 13 h .
B 200 garrafas às 2 h e às 14 h .
C 280 garrafas às 1 h e às 13 h .
D 280 garrafas às 2 he às 14 h .
E 120 garrafas às 7 h e 19 h .

Passo 1

O enunciado nos dá a produção horária por meio de uma função sinusoidal
G(t)=200+80sinl(tfracpi t6+tfracpi3r)
O conteúdo aqui é análise de funções trigonométricas (sinusoidais). A ideia é lembrar que o seno varia entre –1 e 1 e que seu máximo ocorre quando seno=1. Vamos usar essa propriedade para achar o valor máximo de G(t) e depois resolver para os instantes t em que isso acontece.

Passo 2

Para qualquer função do tipo
G(t)=A+ Bsin(dots)
sabemos que o termo constante (aqui A=200) é o valor médio e B=80 é a amplitude. Como sin(x) atinge 1 no seu máximo, o valor máximo de G é
Gmax=200+80cdot1=280

Passo 3

Agora precisamos achar t tais que
sinl(tfracpi t6+tfracpi3r)=1
A solução geral de sin(theta)=1 é
theta=tfracpi2+2pi k, kinZ
Logo,
tfracpi t6+tfracpi3=tfracpi2+2pi k

Passo 4

Isolando t:
tfracpi t6=tfracpi2-tfracpi3+2pi k=tfracpi6+2pi k
divide por pi e multiplica por 6:
t=1+12k
Considerando um dia (0≤t<24), os valores possíveis são t=1 h (k=0) e t=13 h (k=1).

Resposta

280 garrafas às 1 h e às 13 h.

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