- A superfície de um lago é representada por uma região
do plano
de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto
é
. Em que direção um bote no ponto
deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
Passo 1
O enunciado dá a profundidade do lago como
e pede duas direções em
: onde a profundidade decresce mais rápido e onde ela permanece constante. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A teoria diz que o gradiente de
em
é o vetor
e que ele aponta a direção de máximo crescimento de
. A direção de máximo decrescimento é
. Variações nulas ocorrem em direções ortogonais a
.
Passo 3
Em
temos
Passo 4
A direção de decrescimento mais rápido é a de
, isto é
Normalizando esse vetor para obtermos um vetor unitário, calculamos seu comprimento:
Logo um vetor unitário nessa direção é
Passo 5
A profundidade permanece constante em qualquer direção ortogonal a
. Um vetor perpendicular a
satisfaz
Por exemplo, escolhendo
damos
. O comprimento de
é
logo o vetor unitário é
Resposta
Direção de decrescimento mais rápido (unitário):
Direção de profundidade constante (unitário):