1. A superfície de um lago é representada por uma região D do plano x y de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto (x, y) é p(x, y)=300-x^2-y^2. Em que direção um bote no ponto A(4,9) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?

Passo 1

O enunciado dá a profundidade do lago como
p(x,y)=300 - x^2 - y^2
e pede duas direções em A(4,9): onde a profundidade decresce mais rápido e onde ela permanece constante. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A teoria diz que o gradiente de p em (x,y) é o vetor
nabla p(x,y) = l(partial ppartial x,,partial ppartial yr) = (-2x,,-2y),
e que ele aponta a direção de máximo crescimento de p. A direção de máximo decrescimento é -nabla p. Variações nulas ocorrem em direções ortogonais a nabla p.

Passo 3

Em A(4,9) temos
nabla p(4,9)=(-2cdot4,,-2cdot9)=(-8,,-18)

Passo 4

A direção de decrescimento mais rápido é a de -nabla p(4,9), isto é
(8,,18)
Normalizando esse vetor para obtermos um vetor unitário, calculamos seu comprimento:
|(8,18)|=raiz8^2+18^2=raiz64+324=raiz388=2raiz97
Logo um vetor unitário nessa direção é
12raiz97,(8,18) = 1raiz97,(4,9)

Passo 5

A profundidade permanece constante em qualquer direção ortogonal a nabla p(4,9)=(-8,-18). Um vetor perpendicular a (-8,-18) satisfaz
-8,v1 - 18,v2=0 Longrightarrow 8,v1 + 18,v2=0
Por exemplo, escolhendo v1=9 damos v2=-4. O comprimento de (9,-4) é
raiz9^2+(-4)^2=raiz81+16=raiz97,
logo o vetor unitário é
1raiz97,(9,-4)

Resposta

Direção de decrescimento mais rápido (unitário):
1raiz97,(4,9)
Direção de profundidade constante (unitário):
1raiz97,(9,-4)

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