Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^5(1+2 x^3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^5l(1+2x^3r),dx
usando a definição pelo Teorema 4, isto é, como limite de somas de Riemann
integral0^5f(x),dx = lim|P|to0sumi=1^nf(xi^*),De<a xi
Aqui f(x)=1+2x^3.

Passo 2

Escolhemos uma partição uniforme de [0,5] em n subintervalos, cada um de largura
De<a x = 5n,
e adotamos como ponto de amostra o extremo direito de cada subintervalo:
xi^* = i,De<a x = i5n
A soma de Riemann associada é
Sn = sumi=1^nl(1+2(xi^*)^3r),De<a x

Passo 3

Separamos Sn em duas parcelas:
Sn = sumi=1^n 1cdotDe<a x + 2sumi=1^n (xi^*)^3,De<a x
A primeira parte é imediata:
sumi=1^n 1cdotDe<a x = n,De<a x = ncdot5n = 5

Passo 4

Na segunda parcela usamos xi^*=iDe<a x:
sumi=1^n (xi^*)^3,De<a x = sumi=1^n (iDe<a x)^3,De<a x = De<a x^4sumi=1^n i^3
E vale a fórmula
sumi=1^n i^3 = l(n(n+1)2r)^2
Portanto
2sumi=1^n (xi^*)^3,De<a x = 2,De<a x^4 l(n(n+1)2r)^2

Passo 5

Substituindo De<a x=tfrac5n em De<a x^4 e simplificando, obtemos
2l(5nr)^4 l(n(n+1)2r)^2 =2cdot5^4n^4cdotn^2(n+1)^24 =12504cdot(n+1)^2n^2 =6252l(1+1nr)^2

Passo 6

Fazendo ntoinfty a expressão l(1+tfrac1nr)^2to1, logo a segunda parcela tende a tfrac6252. Somando à primeira parte (que vale 5) dá
limntoinftySn = 5 + 6252 = 6352

Resposta

6352

Exercícios relacionados