4.5 (
pontos) : Uma esfera solida condutora de raio
é colocada concentricamente dentro de uma casca esférica de raio interno
e externo
. A esfera solido no interior possui carga
e a exterior não tem carga. O campo elétrico para
é
A)
B)
C)
D)
E) zero
A)
B)
C)
D)
E) zero
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o campo elétrico na região entre a esfera sólida e a casca metálica, ou seja para
.
Informações dadas (retirei estes dados da figura): a esfera condutora sólida de raio
carrega carga
. A casca esférica condutora tem raio interno
e raio externo
e está, inicialmente, neutra (carga total zero). A região de interesse é a região entre as superfícies:
.
Pergunta explícita: qual é o vetor campo elétrico
nessa região?
Passo 2
Conceitos físicos importantes (explicados com calma):
-
Em eletrostática, um condutor em equilíbrio tem o campo elétrico interno nulo dentro do material condutor; por isso todas as cargas livres de um condutor se acumulam nas superfícies.
-
Para a esfera condutora sólida carregada com
a carga total reside na sua superfície externa, isto é, na superfície . Não há carga “dentro” do metal além da superfície. -
A casca externa é condutora e neutra. Na presença da esfera interior carregada
, a casca terá cargas induzidas: uma carga distribuída na superfície interna e uma carga na superfície externa , de modo que a carga total da casca permaneça zero. Atenção: essa distribuição induzida importa para regiões r maiores que , mas para a carga induzida em não está dentro da superfície gaussiana que escolheremos.
Passo 3
Escolha da superfície de Gauss e simetria: pela simetria esférica do problema, o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância
do centro depende apenas de
e é radial (ou seja, paralelo a
). Então é natural escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
tal que
. Nessa superfície a magnitude do campo é constante e a direção é radial.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss (aula curta): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
:
Aqui
é a carga total contida no volume limitado pela superfície gaussiana. No nosso caso, para
a única carga dentro da superfície é a carga
da esfera sólida (a carga induzida
na superfície
fica fora da superfície gaussiana porque está exatamente em
e nós temos
). Logo
.
Passo 5
Cálculo explícito do campo: pelo argumento de simetria o fluxo é
vezes a área da esfera gaussiana, ou seja
Isolando
obtemos
Definindo a constante
(a forma usual), escrevemos o campo vetorial com direção radial
Passo 6
Interpretação do sinal e caso geral: se
o vetor campo aponta para fora (no sentido
); se
o campo aponta para dentro (no sentido
). A expressão acima já incorpora isso pelo sinal de
.
Passo 7
Comparação com as alternativas e conclusão: entre as alternativas dadas, a que corresponde à expressão correta é a alternativa B, que representa o campo radial decaindo como
com coeficiente
.
Resposta
B)
(para
)