4.5 ( \mathbf{2 , 5} pontos) : Uma esfera solida condutora de raio \mathbf{r}_{\mathrm{a}} é colocada concentricamente dentro de uma casca esférica de raio interno \mathbf{r b}_{1} e externo \mathbf{r}_{2}. A esfera solido no interior possui carga Q e a exterior não tem carga. O campo elétrico para \mathrm{r}_{\mathrm{a}}<\mathrm{r}<\mathrm{r}_{\mathrm{b} 1} é
A) -k Q / r^{2} r
B) k Q / r^{2} r
C) -2 k Q 1 r i
D) 2 \mathrm{k} \mathrm{Q} / \mathrm{r} \dot{r}
E) zero

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o campo elétrico na região entre a esfera sólida e a casca metálica, ou seja para \mathrm{r}_{\mathrm{a}}<r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1}.
Informações dadas (retirei estes dados da figura): a esfera condutora sólida de raio \mathrm{r}_{\mathrm{a}} carrega carga Q. A casca esférica condutora tem raio interno \mathrm{r}_{\mathrm{b}1} e raio externo \mathrm{r}_{\mathrm{b}2} e está, inicialmente, neutra (carga total zero). A região de interesse é a região entre as superfícies: \mathrm{r}_{\mathrm{a}}<r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1}.
Pergunta explícita: qual é o vetor campo elétrico \mathbf{E} nessa região?

Passo 2

Conceitos físicos importantes (explicados com calma):
  • Em eletrostática, um condutor em equilíbrio tem o campo elétrico interno nulo dentro do material condutor; por isso todas as cargas livres de um condutor se acumulam nas superfícies.
  • Para a esfera condutora sólida carregada com Q a carga total reside na sua superfície externa, isto é, na superfície r=\mathrm{r}_{\mathrm{a}}. Não há carga “dentro” do metal além da superfície.
  • A casca externa é condutora e neutra. Na presença da esfera interior carregada Q, a casca terá cargas induzidas: uma carga -Q distribuída na superfície interna r=\mathrm{r}_{\mathrm{b}1} e uma carga +Q na superfície externa r=\mathrm{r}_{\mathrm{b}2}, de modo que a carga total da casca permaneça zero. Atenção: essa distribuição induzida importa para regiões r maiores que \mathrm{r}_{\mathrm{b}1}, mas para \mathrm{r}<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1} a carga induzida em r=\mathrm{r}_{\mathrm{b}1} não está dentro da superfície gaussiana que escolheremos.

Passo 3

Escolha da superfície de Gauss e simetria: pela simetria esférica do problema, o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância r do centro depende apenas de r e é radial (ou seja, paralelo a \hat r). Então é natural escolher uma superfície gaussiana esférica de raio \;r tal que \mathrm{r}_{\mathrm{a}}<r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1}. Nessa superfície a magnitude do campo é constante e a direção é radial.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss (aula curta): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície gaussiana. No nosso caso, para \mathrm{r}_{\mathrm{a}}<r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1} a única carga dentro da superfície é a carga Q da esfera sólida (a carga induzida -Q na superfície r=\mathrm{r}_{\mathrm{b}1} fica fora da superfície gaussiana porque está exatamente em r=\mathrm{r}_{\mathrm{b}1} e nós temos r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1}). Logo Q_{\text{int}}=Q.

Passo 5

Cálculo explícito do campo: pelo argumento de simetria o fluxo é E vezes a área da esfera gaussiana, ou seja
E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E obtemos
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
Definindo a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (a forma usual), escrevemos o campo vetorial com direção radial
\mathbf{E}(r)=\frac{kQ}{r^{2}}\;\hat r,\qquad\text{para }\mathrm{r}_{\mathrm{a}}<r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1}.

Passo 6

Interpretação do sinal e caso geral: se Q>0 o vetor campo aponta para fora (no sentido \hat r); se Q<0 o campo aponta para dentro (no sentido -\hat r). A expressão acima já incorpora isso pelo sinal de Q.

Passo 7

Comparação com as alternativas e conclusão: entre as alternativas dadas, a que corresponde à expressão correta é a alternativa B, que representa o campo radial decaindo como 1/r^{2} com coeficiente kQ.

Resposta

B) \mathbf{E}(r)=\dfrac{kQ}{r^{2}}\hat r (para \mathrm{r}_{\mathrm{a}}<r<\mathrm{r}_{\mathrm{b}1})

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