(10 pontos) Considere a função f(x)=x^6-x^2+x-1. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{6} - x^{2} + x - 1 $ e precisa mostrar que ela tem pelo menos uma raiz, ou seja, que existe um valor de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a gente a encontrar raízes quando a função é contínua e muda de sinal entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua. Funções polinomiais, como a $ f(x) $, são sempre contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é todos os números reais. Isso significa que o gráfico da função não tem “quebras” ou “saltos”.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de $ f(x) $ em dois pontos diferentes para ver se a função muda de sinal. Vamos escolher $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
f(x)
Para $ x = 1 $:
x = 0

Passo 4

Vemos que $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = 0 $. Isso mostra que a função mudou de negativo para zero quando $ x $ passou de 0 para 1. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, ela deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez nesse intervalo. Ou seja, deve existir pelo menos um valor $ c $ entre 0 e 1 onde $ f© = 0 $.

Resposta

Então, concluímos que a função $ f(x) = x^{6} - x^{2} + x - 1 $ tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 0 e 1, especificamente em $ x = 1 $.

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