(10 pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{6} - x^{2} + x - 1 $ e precisa mostrar que ela tem pelo menos uma raiz, ou seja, que existe um valor de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a gente a encontrar raízes quando a função é contínua e muda de sinal entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função é contínua. Funções polinomiais, como a $ f(x) $, são sempre contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é todos os números reais. Isso significa que o gráfico da função não tem “quebras” ou “saltos”.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de $ f(x) $ em dois pontos diferentes para ver se a função muda de sinal. Vamos escolher $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 1 $:
Passo 4
Vemos que $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = 0 $. Isso mostra que a função mudou de negativo para zero quando $ x $ passou de 0 para 1. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, ela deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez nesse intervalo. Ou seja, deve existir pelo menos um valor $ c $ entre 0 e 1 onde $ f© = 0 $.
Resposta
Então, concluímos que a função $ f(x) = x^{6} - x^{2} + x - 1 $ tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 0 e 1, especificamente em $ x = 1 $.