Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, siōo diferenciáveis em R^2 e calcule f^prime(x, y).
b) f(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função fcolonR^2toR, definida por f(x,y)=x+y, é diferenciável em R^2 usando o critério de existência e continuidade de derivadas parciais. Em seguida, precisamos calcular a aplicação derivada f'(x,y).

Passo 2

Para aplicar o critério de diferenciabilidade, primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Por definição,
partial fpartial x(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h=limhto0(x+h)+y-(x+y)h=limhto0hh=1,
partial fpartial y(x,y)=limkto0f(x,y+k)-f(x,y)k=limkto0x+(y+k)-(x+y)k=limkto0kk=1
Como as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y existem em todo R^2 e são constantes (logo contínuas), pelo teorema de diferenciabilidade em várias variáveis, f é diferenciável em R^2.

Passo 3

A diferencial (ou derivada) f'(x,y) é a aplicação linear que, para um vetor (h,k), dá
f'(x,y)(h,k)=partial fpartial x(x,y),h+partial fpartial y(x,y),k=1cdot h+1cdot k=h+k

Passo 4

Em forma de matriz linha (Jacobian), temos
f'(x,y)=1 & 1

Resposta

f'(x,y) é o mapeamento linear dado por f'(x,y)(h,k)=h+k, cuja matriz Jacobiana é [1;1].

Exercícios relacionados