(10 pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
possui pelo menos uma raiz real.
O conteúdo que vamos usar é que polinômios são funções contínuas e, em seguida, o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
O conteúdo que vamos usar é que polinômios são funções contínuas e, em seguida, o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Passo 2
Como
é um polinômio (grau 3), ela é contínua em todo
. Portanto, podemos aplicar o TVI em qualquer intervalo onde
mude de sinal.
Passo 3
Vamos avaliar
em dois pontos distintos para encontrar sinais opostos.
Calculemos
Calculemos
e
Passo 4
Em
, temos
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
tal que
Resposta
A função
tem pelo menos uma raiz real.