(10 pontos) Considere a função f(x)=x-x^{3}-\frac{1}{3}. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x - x^{3} - \tfrac{1}{3}
possui pelo menos uma raiz real.
O conteúdo que vamos usar é que polinômios são funções contínuas e, em seguida, o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Como f é um polinômio (grau 3), ela é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, podemos aplicar o TVI em qualquer intervalo onde f mude de sinal.

Passo 3

Vamos avaliar f em dois pontos distintos para encontrar sinais opostos.
Calculemos
f(-2)=(-2)-(-2)^{3}-\tfrac{1}{3}=-2 -(-8)-\tfrac{1}{3}=6-\tfrac{1}{3}=\tfrac{17}{3}>0,
e
f(0)=0 -0 -\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{3}<0.

Passo 4

Em [-2,0], temos f(-2)>0 e f(0)<0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c\in(-2,0) tal que
f\text{(c)}=0.

Resposta

A função f(x)=x - x^{3} - \tfrac{1}{3} tem pelo menos uma raiz real.

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