(25 pontos) Seja f(x)=\sqrt{x}+2.
(a) ( \mathbf{1 5} pontos) Use a definição de derivada para calcular f^{\prime}(2).
(b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f em (2, f(2)).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = \sqrt{x} + 2
e pede duas coisas: usar a definição de derivada para encontrar \,f'(2) (conteúdo: limite do quociente incremental) e, em seguida, obter a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(2,f(2)\bigr).

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada em x=2:
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Aqui o objetivo é manipular o quociente \bigl(f(2+h)-f(2)\bigr)/h.

Passo 3

Calculamos o numerador:
f(2+h)-f(2) =\bigl(\sqrt{2+h}+2\bigr)-\bigl(\sqrt2+2\bigr) =\sqrt{2+h}-\sqrt2.
Logo
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt2}{h}.

Passo 4

Para resolver esse limite, racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2+h}+\sqrt2:
\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt2}{h}\cdot\frac{\sqrt{2+h}+\sqrt2}{\sqrt{2+h}+\sqrt2} =\frac{(2+h)-2}{\,h\bigl(\sqrt{2+h}+\sqrt2\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt2}.
Ao fazer h\to0, fica
f'(2) =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt2} =\frac{1}{2\sqrt2}.

Passo 5

Portanto
f'(2)=\frac{1}{2\sqrt2}.

Passo 6

Para a reta tangente em \bigl(2,f(2)\bigr), usamos a fórmula ponto-inclinação:
y-f(2)=f'(2)\,\bigl(x-2\bigr).
Sabendo que f(2)=\sqrt2+2 e f'(2)=1/(2\sqrt2), temos
y-\bigl(\sqrt2+2\bigr) =\frac{1}{2\sqrt2}\,(x-2).

Passo 7

Se quisermos escrever na forma explícita y=mx+b, basta isolar y:
y=\frac{1}{2\sqrt2}\,x -\frac{2}{2\sqrt2} +\bigl(\sqrt2+2\bigr) =\frac{1}{2\sqrt2}\,x -\frac{1}{\sqrt2} +\sqrt2+2.

Resposta

(a) \displaystyle f'(2)=\frac{1}{2\sqrt2}.
(b) A reta tangente em \bigl(2,f(2)\bigr) é
y-\bigl(\sqrt2+2\bigr) =\frac{1}{2\sqrt2}\,(x-2).

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