(25 pontos) Seja
.
(a) (
pontos) Use a definição de derivada para calcular
.
(b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
(a) (
(b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede duas coisas: usar a definição de derivada para encontrar
(conteúdo: limite do quociente incremental) e, em seguida, obter a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 2
Aplicamos a definição de derivada em
:
Aqui o objetivo é manipular o quociente
.
Passo 3
Calculamos o numerador:
Logo
Passo 4
Para resolver esse limite, racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
Ao fazer
, fica
Passo 5
Portanto
Passo 6
Para a reta tangente em
, usamos a fórmula ponto-inclinação:
Sabendo que
e
, temos
Passo 7
Se quisermos escrever na forma explícita
, basta isolar
:
Resposta
(a)
(b) A reta tangente em é
(b) A reta tangente em