Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando ( x, y ) tende ao ponto indicado: f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), y \neq 0 \\\\ 0, y=0\end{array} ; P(0,0)\right. Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&y\neq0,\\\\ 0,&y=0, \end{cases} e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite em \mathbb{R}^2 e vamos usar desigualdades para controlar f(x,y). Passo 2Para y\neq0 temos |f(x,y)|=\bigl|x\sin(\tfrac1x)\bigr|\le|x|\cdot1=|x|. Para y=0 vale f(x,0)=0, logo também |f(x,0)|=0\le|x|. Passo 3Note que |x|\le\sqrt{x^2+y^2}. Seja \rho=\sqrt{x^2+y^2}. Então em qualquer ponto |f(x,y)|\le|x|\le\rho, e quando (x,y)\to(0,0) temos \rho\to0, logo |f(x,y)|\to0. Passo 4Como |f(x,y)-0|\to0 para todo modo de aproximação de (x,y) a (0,0), o limite existe e é igual a zero. Resposta \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(25 pontos) Seja f(x)=\sqrt{x}+2. (a) ( \mathbf{1 5} pontos) Use a definição de derivada para calcular f^{\prime}(2). (b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f em (2, f(2)). (10 pontos) Considere a função f(x)=x-x^{3}-\frac{1}{3}. Mostre que f tem pelo menos uma raiz. Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo. \int \frac{\ln (x)}{x} d x(0,6 \mathrm{pts}) Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo. \int \frac{x^{3}+5 x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}} d x(0,6 \mathrm{pts})