Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando ( x, y ) tende ao ponto indicado:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), y \neq 0 \\\\ 0, y=0\end{array} ; P(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&y\neq0,\\\\ 0,&y=0, \end{cases}
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite em \mathbb{R}^2 e vamos usar desigualdades para controlar f(x,y).

Passo 2

Para y\neq0 temos
|f(x,y)|=\bigl|x\sin(\tfrac1x)\bigr|\le|x|\cdot1=|x|.
Para y=0 vale f(x,0)=0, logo também |f(x,0)|=0\le|x|.

Passo 3

Note que |x|\le\sqrt{x^2+y^2}. Seja \rho=\sqrt{x^2+y^2}. Então em qualquer ponto
|f(x,y)|\le|x|\le\rho,
e quando (x,y)\to(0,0) temos \rho\to0, logo |f(x,y)|\to0.

Passo 4

Como |f(x,y)-0|\to0 para todo modo de aproximação de (x,y) a (0,0), o limite existe e é igual a zero.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

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