Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
que é uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Vamos usar a técnica de fatorar \sqrt{x} em numerador e denominador para simplificar.

Passo 2

Observe que
\sqrt{x-1}=\sqrt{x}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}} \quad,\quad \sqrt{x+1}=\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{x}} \quad,\quad \sqrt{x}=\sqrt{x}\cdot1.
Substituindo na fração, temos
\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}} {\sqrt{x}\bigl(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\bigr)} =\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}.

Passo 3

Agora basta tomar o limite quando x\to\infty. Como \tfrac{1}{x}\to0,
\sqrt{1-\frac{1}{x}}\to1 \quad\text{e}\quad \sqrt{1+\frac{1}{x}}\to1.
Logo
\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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