Denote
S_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n} x d x.
a) mostre que
S_{2 k+2} \leq S_{2 k+1} \leq S_{2 k}.
b) Por meio dos itens a) e b) do exercício
\mathbf{6}, mostre que
\frac{S_{2 k+2}}{S_{2 k}}=\frac{2 k+1}{2 k+2}
c) usando a) e b), conclua que
\frac{2 k+1}{2 k+2} \leq \frac{S_{2 k+1}}{S_{2 k}} \leq 1
e verifique o limite
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{S_{2 k+1}}{S_{2 k}}=1
d) Por fim, conclua
\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2 k}{2 k-1} \cdot \frac{2 k}{2 k+1}\right)=\frac{\pi}{2}
conhecido como produto de Wallis.