(10 pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
e pede para mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Vamos usar a ideia de que todo polinômio é contínuo e, em seguida, aplicar o Teorema do Valor Intermediário para encontrar um intervalo em que
muda de sinal.
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
. Isso garante que, se encontrarmos pontos
tais que
, então existe
com
.
Passo 3
avaliamos
e
.
Como e
, há mudança de sinal entre 0 e 1.
e
Como
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, sendo
contínua em
e
, existe
tal que
Resposta
A função
tem pelo menos uma raiz real em
.