(10 pontos) Considere a função f(x)=x^6-x^2+9 x-8. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^6-x^2+9x-8 definida em R e pede para mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Vamos usar a ideia de que todo polinômio é contínuo e, em seguida, aplicar o Teorema do Valor Intermediário para encontrar um intervalo em que f muda de sinal.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R. Isso garante que, se encontrarmos pontos a<b tais que f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) com f(c)=0.

Passo 3

avaliamos
f(0)=0^6-0^2+9cdot0-8=-8
e
f(1)=1^6-1^2+9cdot1-8=1-1+9-8=1.
Como f(0)=-8<0 e f(1)=1>0, há mudança de sinal entre 0 e 1.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, sendo f contínua em [0,1] e f(0)cdot f(1)<0, existe cin(0,1) tal que
f(c)=0

Resposta

A função f(x)=x^6-x^2+9x-8 tem pelo menos uma raiz real em (0,1).

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