(25 pontos) Seja
f(x)= a-b x, & se x>2 b, & se x=2 -x+2 a, & se x<2
(a) (10 pontos) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x)
(b) (15 pontos) Determine o valor (ou valores) de a e b para que f seja contínua em 2 .

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= a - b,x, & x>2, b, & x=2, -,x + 2a, & x<2
Pede (a) os limites laterais em x=2 e (b) os valores de a e b para que f seja contínua em 2. Vamos usar a definição de limites de funções por partes e a condição de continuidade
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=f(2)

Passo 2

Para limxto2^+f(x) olhamos o ramo x>2, onde f(x)=a - b,x. Substituindo xto2 obtemos
limxto2^+f(x)=a - bcdot2 = a - 2b

Passo 3

Para limxto2^-f(x) usamos o ramo x<2, em que f(x)=-,x+2a. Substituindo xto2
limxto2^-f(x)=-,2 + 2a = 2a - 2

Passo 4

Para continuidade em x=2 impomos
limxto2^+f(x)=f(2)elimxto2^-f(x)=f(2),
ou seja
a - 2b = b, 2a - 2 = b
Da primeira equação vem a=3b. Substituindo na segunda:
2(3b) - 2 = b ;Longrightarrow; 6b - 2 = b ;Longrightarrow; 5b = 2 ;Longrightarrow; b = tfrac25,
e daí a=3b=3cdottfrac25=tfrac65

Resposta

(a) limxto2^+f(x)=a-2b e limxto2^-f(x)=2a-2.
(b) Para continuidade em 2 é necessário
a=tfrac65, b=tfrac25

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