(25 pontos) Seja f(x)=raizx+1.
(a) (15 pontos) Use a definição de derivada para calcular f^prime(2).
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f em (2, f(2)).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)= raizx+1 e precisamos (a) calcular f′(2) usando a definição de derivada e (b) encontrar a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,f(2)). Vamos usar conceito de limite para derivada e fórmula da reta tangente.

Passo 2

Aplicar a definição de derivada em x=2. A definição diz que
f(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h
Como f(x)= raizx+1, temos f(2)= raiz3 e
f(2)=limhto0raiz2+h+1-raiz2+1h=limhto0raiz3+h-raiz3h

Passo 3

Racionalizar o numerador multiplicando por raiz3+h+raiz3raiz3+h+raiz3. Assim
f(2)=limhto0(raiz3+h-raiz3)(raiz3+h+raiz3)h(raiz3+h+raiz3)=limhto03+h-3h(raiz3+h+raiz3)=limhto0hh(raiz3+h+raiz3)

Passo 4

Cancelar h e calcular o limite:
f(2)=limhto01raiz3+h+raiz3=12raiz3

Passo 5

Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-ângulo
y - f(2) = f(2),(x-2),
onde f(2)= raiz3 e f′(2)= 1/(2raiz3). Substituindo:
y - raiz3=12raiz3(x-2)

Passo 6

Colocar na forma y=mx+b. Expandindo e isolando y:
y=12raiz3x - 22raiz3+raiz3=12raiz3x - 1raiz3+3raiz3=12raiz3x+2raiz3

Resposta

(a) f′(2)=\frac{1}{2\sqrt{3}}. (b) A reta tangente é y=\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{2}{\sqrt{3}}.

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