(25 pontos) Seja
.
(a) (15 pontos) Use a definição de derivada para calcular
.
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
(a) (15 pontos) Use a definição de derivada para calcular
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=
e precisamos (a) calcular f′(2) usando a definição de derivada e (b) encontrar a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,f(2)). Vamos usar conceito de limite para derivada e fórmula da reta tangente.
Passo 2
Aplicar a definição de derivada em x=2. A definição diz que
Como f(x)=
, temos f(2)=
e
Passo 3
Racionalizar o numerador multiplicando por
. Assim
Passo 4
Cancelar h e calcular o limite:
Passo 5
Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-ângulo
onde f(2)=
e f′(2)=
. Substituindo:
Passo 6
Colocar na forma y=mx+b. Expandindo e isolando y:
Resposta
(a) f′(2)=\frac{1}{2\sqrt{3}}. (b) A reta tangente é y=\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{2}{\sqrt{3}}.