(10 pontos) Dados os vetores
e
, determine o(s) valor(es) de
para que
seja ortogonal a
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de vetores aqui. Precisamos descobrir qual valor de
faz com que a soma dos vetores
e
seja ortogonal ao vetor
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a propriedade de ortogonalidade de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos somar os vetores
e
. A soma de vetores é feita componente a componente:
Passo 3
Agora, queremos que
seja ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é calculado assim:
Passo 4
Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Primeiro, identifique as componentes de
:
Agora, calcule o produto escalar de
com
:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação:
Combine os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, resolva para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.