(10 pontos) Dados os vetores a=(2,1, x), b=(x+2,-5,2) e c=(2 x, 8,-2 x), determine o(s) valor(es) de x para que a+b seja ortogonal a c.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de vetores aqui. Precisamos descobrir qual valor de x faz com que a soma dos vetores a e b seja ortogonal ao vetor c . Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a propriedade de ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores a e b . A soma de vetores é feita componente a componente:
a + b = (2 + (x + 2), 1 + (-5), x + 2) = (x + 4, -4, x + 2)

Passo 3

Agora, queremos que a + b seja ortogonal a c . Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Primeiro, identifique as componentes de c :
c = (2x, 8, -2x)
Agora, calcule o produto escalar de a + b com c :
(x + 4)(2x) + (-4)(8) + (x + 2)(-2x) = 0

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação:
2x(x + 4) - 32 - 2x(x + 2) = 0
2x^2 + 8x - 32 - 2x^2 - 4x = 0
Combine os termos semelhantes:
(2x^2 - 2x^2) + (8x - 4x) - 32 = 0
4x - 32 = 0

Passo 6

Agora, resolva para x :
4x = 32
x = 324 = 8

Resposta

O valor de x que satisfaz a condição é x = 8 .

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