Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 que são triangulares inferiores. Considere as seguintes bases deste espaço
alpha=[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1]
beta=[ll1 & 0 3 & 0],[ll0 & 0 1 & 0],[ll1 & 0 1 & 2]
Determine as matrizes de mudança de base [I]beta^alpha e [I]alpha^beta

Passo 1

O enunciado define V como o espaço das matrizes 2times2 triangulares inferiores, que tem dimensão 3. As bases dadas são
alpha = lE1,E2,E3r com E1=1&00&0,; E2=0&01&0,; E3=0&00&1,
beta = lB1,B2,B3r com B1=1&03&0,; B2=0&01&0,; B3=1&01&2
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]beta^alpha e [I]alpha^beta.

Passo 2

Qualquer matriz triangular inferior
tem coordenadas na base , pois
Queremos expressar o mesmo como combinação dos vetores de :
Em coordenadas isso dá o sistema
isto é

Passo 3

Resolvendo para c1,c2,c3 em função de x,y,z:
c3 = z2, c1 = x - c3 = x - z2, c2 = y - 3c1 - c3 = y - 3l(x-tfracz2r) - tfracz2 = y - 3x + z
Logo, se [M]alpha=(x,y,z)^T, então [M]beta=(c1,c2,c3)^T com
c1 = x - tfracz2, c2 = y - 3x + z, c3 = tfracz2
Isto significa que a matriz de mudança de base que leva [M]alpha em [M]beta tem colunas dadas pelas imagens de E1,E2,E3.

Passo 4

Aplicando aos vetores de alpha:
  • Para E1, temos (x,y,z)=(1,0,0), logo (c1,c2,c3)=(1,-3,0).
  • Para E2, temos (x,y,z)=(0,1,0), logo (c1,c2,c3)=(0,1,0).
  • Para E3, temos (x,y,z)=(0,0,1), logo l(c1,c2,c3r)=(-tfrac12,1,tfrac12).
Portanto
[I]beta^alpha = 1 & 0 & -tfrac12 -3 & 1 & 1 0 & 0 & tfrac12 ,
pois [I]beta^alpha[Ej]alpha = [Ej]beta corresponde a essas colunas.

Passo 5

Para obter [I]alpha^beta, basta colocar em cada coluna as coordenadas de Bj na base alpha. Como
B1=(1,3,0), B2=(0,1,0), B3=(1,1,2)
no sistema (x,y,z), segue
[I]alpha^beta = 1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 0 & 0 & 2

Resposta

[I]beta^alpha = 1 & 0 & -tfrac12 -3 & 1 & 1 0 & 0 & tfrac12 , [I]alpha^beta = 1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 0 & 0 & 2

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