(10 pontos) Determine o ângulo entre os planos \Pi_{1}: x+y+\sqrt{2} z-4=0 e \Pi_{2}: x+y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos \Pi_{1}: x+y+\sqrt{2}\,z-4=0 e \Pi_{2}: x+y+3=0.
Em geometria vetorial, o ângulo entre dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Para resolver, vamos extrair os vetores normais, usar produto escalar e norma, e depois aplicar a fórmula do cosseno do ângulo.

Passo 2

Os vetores normais vêm dos coeficientes de x,y,z em cada equação: \Pi_{1} tem normal
\mathbf{n}_1 = (1,\,1,\,\sqrt{2})
e \Pi_{2} tem normal
\mathbf{n}_2 = (1,\,1,\,0).

Passo 3

Calculamos o produto escalar
\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 1\cdot1 + 1\cdot1 + \sqrt{2}\cdot0 = 2.

Passo 4

Determinamos as normas:
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2,
\|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}.

Passo 5

Usamos a fórmula
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(1/\sqrt{2}\bigr) = 45^\circ.

Resposta

\theta = 45^\circ.

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