(20 pontos)Considere a equação \frac{(x+2)^{2}}{25}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=1. Identifique a cônica e determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas caso existam.

Passo 1

O enunciado apresenta a cônica dada pela equação
\frac{(x+2)^{2}}{25}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=1.
Estamos no conteúdo de identificação de cônicas no plano cartesiano. Para resolver, vamos comparar com as formas padrão de elipse, determinar parâmetros a, b, c e extrair centro, vértices, focos, excentricidade e possíveis assíntotas.

Passo 2

Reconhecemos que a soma das duas frações igual a 1 indica uma elipse. Na forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
temos a^{2}=25 e b^{2}=9, portanto
a=5,\quad b=3.
Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 3

O centro da elipse \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 é (h,k). Aqui h=-2 e k=3. Logo, o centro é
(-2,3).

Passo 4

Os vértices estão a distância a ao longo do eixo maior (horizontal) e a distância b ao longo do eixo menor (vertical) a partir do centro. Assim:
vértices principais:
(-2-5,\,3)=(-7,3),\quad(-2+5,\,3)=(3,3),
vértices secundários:
(-2,\,3-3)=(-2,0),\quad(-2,\,3+3)=(-2,6).

Passo 5

Para achar os focos, usamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=25-9=16\quad\Longrightarrow\quad c=4.
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
(-2-4,\,3)=(-6,3),\quad(-2+4,\,3)=(2,3).

Passo 6

A excentricidade de uma elipse é dada por
e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}.

Passo 7

Elipses não têm assíntotas reais, portanto não existem assíntotas.

Resposta

cônica: elipse
centro: (-2,3)
vértices principais: (-7,3),\,(3,3)
vértices secundários: (-2,0),\,(-2,6)
focos: (-6,3),\,(2,3)
excentricidade: \tfrac{4}{5}
assíntotas: não existem

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