(20 pontos)Considere a equação
. Identifique a cônica e determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas caso existam.
Passo 1
O enunciado apresenta a cônica dada pela equação
Estamos no conteúdo de identificação de cônicas no plano cartesiano. Para resolver, vamos comparar com as formas padrão de elipse, determinar parâmetros
,
,
e extrair centro, vértices, focos, excentricidade e possíveis assíntotas.
Passo 2
Reconhecemos que a soma das duas frações igual a
indica uma elipse. Na forma padrão
temos
e
, portanto
Como
, o eixo maior é horizontal.
Passo 3
O centro da elipse
é
. Aqui
e
. Logo, o centro é
Passo 4
Os vértices estão a distância
ao longo do eixo maior (horizontal) e a distância
ao longo do eixo menor (vertical) a partir do centro. Assim:
vértices principais:
vértices principais:
vértices secundários:
Passo 5
Para achar os focos, usamos
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
Passo 6
A excentricidade de uma elipse é dada por
Passo 7
Elipses não têm assíntotas reais, portanto não existem assíntotas.
Resposta
cônica: elipse
centro:
vértices principais:
vértices secundários:
focos:
excentricidade:
assíntotas: não existem
centro:
vértices principais:
vértices secundários:
focos:
excentricidade:
assíntotas: não existem