De 3 a 9, faça um esboço da curva dada pela função vetorial.
\vec{h}(t)=2 \vec{i}+5 \cos t \vec{j}+3 \operatorname{sen} t \vec{k} ; t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \vec{h}(t)=2\,\vec{i}+5\cos t\,\vec{j}+3\sin t\,\vec{k}
para t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr].
O conteúdo é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3; para esboçar, vamos (1) eliminar o parâmetro e identificar a forma geométrica e (2) determinar a orientação do traço.

Passo 2

Escrevendo coordenadas,
\vec{h}(t)=(x,y,z)=(2,\;5\cos t,\;3\sin t).
Como
\Bigl(\frac{y}{5}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{z}{3}\Bigr)^2 =\cos^2t+\sin^2t=1,
vemos que o traço é uma elipse de centro (2,0,0), semi-eixos 5 (direção y) e 3 (direção z), contida no plano x=2. Além disso y=5\cos t\ge0, logo é meia-elipse com y\ge0.

Passo 3

Para a orientação, calculamos pontos notáveis:
\vec{h}\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(2,0,-3),\quad \vec{h}(0)=(2,5,0),\quad \vec{h}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(2,0,3).
Assim, conforme t cresce, a curva vai de (2,0,-3) para (2,5,0) e depois para (2,0,3).

Passo 4

No esboço, considere o plano x=2 paralelo ao plano yz. Nele, trace uma meia-elipse de centro (2,0,0), com extremidades em (2,0,-3) e (2,0,3) e ponto médio (2,5,0). Marque setas indicando o sentido crescente de t.

Resposta

Meia-elipse no plano x=2 dada por
\frac{y^2}{25}+\frac{z^2}{9}=1,\quad y\ge0,
orientada de (2,0,-3) para (2,5,0) e depois para (2,0,3).

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