a)(10 pontos) Determine a posição relativa entre os planos \Pi_{1}: x+y+\sqrt{2} z-4=0 e \Pi_{3}: 2 x+2 y+2 \sqrt{2} z-4=0.
b) ( 10 pontos) Determine a distância entre os planos \Pi_{1}: x+y+\sqrt{2} z-4=0 e \Pi_{3}: 2 x+2 y+2 \sqrt{2} z-4=0.
Passo 1
O enunciado dá dois planos \Pi_{1}:x+y+\sqrt{2}\,z-4=0 e \Pi_{3}:2x+2y+2\sqrt{2}\,z-4=0.
Queremos (a) sua posição relativa e (b) a distância entre eles. Para isso, vamos usar (i) o conceito de vetor normal para verificar paralelismo e coincidência e (ii) a fórmula da distância entre planos paralelos.
Passo 2
Extraímos os vetores normais: \mathbf{n}_1=(1,1,\sqrt2) a \Pi_{1} e \mathbf{n}_3=(2,2,2\sqrt2) a \Pi_{3}.
Como
\mathbf{n}_3 = 2\,(1,1,\sqrt2) = 2\,\mathbf{n}_1,
os dois planos são paralelos, pois seus normais são proporcionais.
Passo 3
Para checar se coincidem, multiplicamos a equação de \Pi_{1} por 2:
2x+2y+2\sqrt{2}\,z-8=0.
Comparando com \Pi_{3}:2x+2y+2\sqrt{2}\,z-4=0, vemos que as constantes -8 e -4 são diferentes. Logo, são planos paralelos porém distintos.
Passo 4
A distância d entre dois planos paralelos escritos como
Ax+By+Cz+D_1=0 \quad\text{e}\quad Ax+By+Cz+D_2=0
é dada por
d=\frac{\bigl|D_2-D_1\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Passo 5
Para aplicar, usamos a forma comum 2x+2y+2\sqrt{2}\,z+D=0. Da equação de \Pi_{1} multiplicada por 2 temos D_1=-8, e em \Pi_{3} temos D_2=-4. Assim,
d =\frac{\bigl|(-4)-(-8)\bigr|}{\sqrt{2^2+2^2+(2\sqrt2)^2}} =\frac{4}{\sqrt{4+4+8}} =\frac{4}{4} =1.
Resposta
a) \Pi_{1} e \Pi_{3} são paralelos distintos.
b) A distância entre eles é 1.