Seja \vec{F}(t)=(1-2 t) \vec{i}-(2-3 t) \vec{j} ; t \in \mathbb{R}. Mostre que a curva definida por \vec{F} é uma reta.

Passo 1

O enunciado dá a função vetor \vec F\colon\mathbb R\to\mathbb R^2 definida por
\vec F(t) = (1-2t)\,\vec i - (2-3t)\,\vec j
e pede para mostrar que o traçado dessa função é uma reta. Para isso vamos usar que um parâmetro vetorial descreve uma reta se sua derivada é constante e se podemos escrever \vec F(t)=\vec P + t\,\vec v,
onde \vec P é um ponto fixo e \vec v é um vetor direção.

Passo 2

Calculamos a derivada em relação a t. Como cada componente de \vec F é afim em t,
\frac{d}{dt}(1-2t) = -2, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(-2+3t\bigr) = 3.
Logo
\vec F'(t) = -2\,\vec i + 3\,\vec j,
que independe de t. Uma derivada constante indica movimento retilíneo uniforme.

Passo 3

Escolhemos um ponto base, por exemplo t=0. Temos
\vec F(0) = (1-2\cdot0)\,\vec i - (2-3\cdot0)\,\vec j = 1\,\vec i -2\,\vec j.
Como \vec F'(t) é constante, chamemos \vec v = \vec F'(t)= -2\,\vec i+3\,\vec j. Então
\vec F(t) = \vec F(0) + t\,\vec v = \bigl(1\,\vec i -2\,\vec j\bigr) + t\bigl(-2\,\vec i +3\,\vec j\bigr).
Isso é exatamente a forma paramétrica de uma reta em \mathbb R^2.

Passo 4

Portanto, concluímos que o conjunto dos pontos \{\vec F(t)\mid t\in\mathbb R\} é a reta que passa por \bigl(1,-2\bigr) e tem vetor direção \bigl(-2,3\bigr).

Resposta

A curva é a reta de representação paramétrica
\vec F(t) = (1,-2) + t\,(-2,3).

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