a) (10,0 pontos) Determine a função
que satisfaz a equação integral abaixo:
b) (5,0 pontos) Utilize o item a) para calcular a integral
Passo 1
Então, vamos lá! Temos duas partes no exercício:
a) Precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação integral:
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Fourier, especificamente a transformada cosseno. Vamos precisar entender como usar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier para uma função
é dada por:
No nosso caso, sabemos que
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos usar a transformada inversa. A transformada inversa da transformada cosseno é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral:
Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão de
:
Assim, encontramos
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Precisamos calcular a integral:
Observando
, sabemos que:
Com
, comparando com a nossa integral:
Resposta
O valor da integral é: