a) (10,0 pontos) Determine a função f(x) que satisfaz a equação integral abaixo:
integral0^infty f(x) cos (x omega) d x=e^-omega
b) (5,0 pontos) Utilize o item a) para calcular a integral
integral0^infty cos (5 x)1+x^2 d x

Passo 1

Então, vamos lá! Temos duas partes no exercício:
a) Precisamos encontrar a função f(x) que satisfaz a equação integral:
integral0^infty f(x) cos (x omega) , dx = e^-omega
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Fourier, especificamente a transformada cosseno. Vamos precisar entender como usar a transformada inversa para encontrar f(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier para uma função f(x) é dada por:
F(omega) = integral0^infty f(x) cos (x omega) , dx
No nosso caso, sabemos que F(omega) = e^-omega .

Passo 3

Para encontrar f(x) , precisamos usar a transformada inversa. A transformada inversa da transformada cosseno é dada por:
f(x) = 2pi integral0^infty F(omega) cos (x omega) , domega
Substituindo F(omega) = e^-omega :
f(x) = 2pi integral0^infty e^-omega cos (x omega) , domega

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^infty e^-omega cos (x omega) , domega
Sabemos que:
integral0^infty e^-a omega cos(b omega) , domega = aa^2 + b^2
Aqui, a = 1 e b = x , então:
integral0^infty e^-omega cos (x omega) , domega = 11 + x^2

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão de f(x) :
f(x) = 2pi cdot 11 + x^2
Assim, encontramos f(x) .

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Precisamos calcular a integral:
integral0^infty cos (5 x)1 + x^2 , dx
Observando f(x) , sabemos que:
integral0^infty f(x) cos (omega x) , dx = e^-omega
Com f(x) = 2pi (1 + x^2) , comparando com a nossa integral:
omega = 5 e integral0^infty cos (5 x)1 + x^2 , dx = pi2 e^-5

Resposta

O valor da integral é:
integral0^infty cos (5 x)1 + x^2 , dx = pi2 e^-5

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