Seja x_{1}>0, x_{n+1}=\ln \left(1+x_{n}\right). Prove que a sequência \left\{x_{n}\right\} converge e calcule \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}
7. Seja f(x)=x \ln (1+x)+\cos x+a x^{2}+b x+c=o\left(x^{2}\right)
Determine os valores de \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}. Quando x é um infinitésimo de ordem superior, determine a parte principal e a ordem do infinitésimo de f(x) em relação a x.

Passo 1

Vou primeiro entender direitinho o que cada parte do enunciado pede e quais informações temos.
  • Para a primeira sequência: temos \;x_{1}>0\; e a recorrência \;x_{n+1}=\ln(1+x_n)\;. A pergunta é: provar que a sequência \{x_n\} converge e calcular \lim_{n\to\infty} x_n.
  • Para a segunda parte: a função é
f(x)=x\ln(1+x)+\cos x+a x^{2}+b x+c=o\left(x^{2}\right)
isso significa que, quando x\to0, temos \;f(x)/x^{2}\to0\;. Pedem:
  1. Determinar os valores de a, b e c que tornam verdadeira a igualdade assintótica acima.
  2. Quando x é um infinitésimo, determinar a parte principal (termo dominante não nulo mais baixo grau) de f(x) e a ordem do infinitésimo de f(x) em relação a x.
Não começo a resolver ainda; apenas sei o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Vamos resolver a primeira parte: mostrar que a sequência converge. Primeiro ideia básica (do tipo que cai bem na prova): mostrar que \{x_n\} é positiva, monótona (decrescente) e limitada inferiormente, então convergente.
  1. Positividade por indução:
  • Temos x_1>0.
  • Se x_n>0 então x_{n+1}=\ln(1+x_n). Para x_n>0, 1+x_n>1 e \ln(1+x_n)>0. Logo x_{n+1}>0.
  • Assim, x_n>0 para todo n.
  1. Mostrar que é decrescente: preciso provar que para todo x>0 vale \ln(1+x)<x. Isso é um fato clássico — vou provar com uma função simples.
Defina \;h(x)=x-\ln(1+x)\;. Então
h'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}.
Para x>0 temos h'(x)>0, logo h é estritamente crescente em (0,\infty). Como h(0)=0, segue que h(x)>0 para todo x>0, ou seja
\ln(1+x)<x\quad\text{para todo }x>0.
Assim, se x_n>0 então x_{n+1}=\ln(1+x_n)<x_n. Portanto a sequência é estritamente decrescente.
  1. Como \{x_n\} é decrescente e todas as x_n>0, está limitada inferiormente por 0. Pela propriedade básica de sequências monótonas, uma sequência decrescente e limitada abaixo converge. Logo \{x_n\} converge.

Passo 3

Agora encontro o limite. Seja \;L=\lim_{n\to\infty} x_n\;. Como a aplicação x\mapsto\ln(1+x) é contínua em [0,\infty), tomando limite na recorrência x_{n+1}=\ln(1+x_n) obtemos a equação fixa
L=\ln(1+L).
Agora resolvo essa equação para L.
Exponenciando ambos os lados:
e^{L}=1+L.
Defina \;g(L)=e^{L}-L-1\;. Temos g(0)=e^{0}-0-1=0. Vou mostrar que L=0 é a única solução real.
Calcule derivadas:
g'(L)=e^{L}-1,\qquad g''(L)=e^{L}>0.
Como g''(L)>0 para todo L, g é estritamente convexa; seu ponto crítico é onde g'(L)=0, ou seja L=0. Esse é o mínimo global de g. Como g(0)=0 e é mínimo, g(L)\ge0 para todo L e a igualdade só ocorre em L=0. Portanto a única solução da equação e^{L}=1+L é L=0.
Logo a sequência converge e o limite é 0.

Passo 4

Resumo e comentário didático sobre a primeira parte (como fazer isso na prova rapidamente):
  • Mostrar \ln(1+x)<x para x>0 é uma fórmula padrão — pode ser feita com h(x)=x-\ln(1+x) e observar h'(x)>0.
  • A partir disso, se x_1>0 obtemos x_{n+1}<x_n e x_n>0 para todo n, então convergente.
  • O limite L satisfaz L=\ln(1+L) e a única solução é L=0, por convexidade de e^{L}-L-1 ou simplesmente observando que e^{L}\ge1+L com igualdade só em L=0 (desigualdade de Taylor/convexidade).

Passo 5

Agora passo para a segunda parte: encontrar a,b,c de modo que
f(x)=x\ln(1+x)+\cos x+a x^{2}+b x+c=o\left(x^{2}\right)\quad (x\to0).
Estratégia: expandir cada termo em série de Taylor até ordem 2 ou até ordem suficiente, identificar os coeficientes das potências x^0, x^1, x^2 e anular esses coeficientes para garantir que o termo principal de ordem \le2 seja zero — pois o(x^2) exige que o termo constante, linear e quadrático sejam todos nulos.
Vou usar as expansões conhecidas em torno de 0:
  • Para \ln(1+x) temos
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots
Logo
x\ln(1+x)=x\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\right)=x^{2}-\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{3}+\cdots.
  • Para \cos x temos
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
  • Os termos a x^{2},\; b x,\; c são óbvios.
Agora somo as expansões até ordem x^{2}.

Passo 6

Somando os termos até ordem x^{2}:
  • Termo constante (ordem x^{0}): vem apenas de \cos x e de c. Então constante total:
1 + c.
  • Coeficiente de x: vem apenas de b x, pois x\ln(1+x) começa em x^{2} e \cos x não tem termo em x. Então coeficiente de x é
b.
  • Coeficiente de x^{2}: vem de x\ln(1+x) com coeficiente 1, de \cos x com coeficiente -\tfrac12 e de a x^{2} com coeficiente a. Portanto coeficiente total de x^{2} é
1-\frac{1}{2}+a=\frac{1}{2}+a.
Para que f(x)=o(x^{2}) é necessário (e suficiente) que os coeficientes dos termos de ordem x^{0},x^{1},x^{2} sejam todos zero (caso contrário f(x) teria um termo de ordem menor ou igual a x^{2} que impediria f(x)/x^{2}\to0).

Passo 7

Impondo as condições de anulação:
  1. Constante zero:
1+c=0\quad\Rightarrow\quad c=-1.
  1. Coeficiente de x zero:
b=0.
  1. Coeficiente de x^{2} zero:
\frac{1}{2}+a=0\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{2}.
Portanto \;a=-\tfrac{1}{2},\; b=0,\; c=-1\;.

Passo 8

Agora determinar a parte principal e a ordem do infinitésimo de f(x) quando x\to0.
Já temos as séries com os valores de a,b,c substituídos. Reescrevo a expansão incluindo o termo de ordem x^{3} para encontrar o primeiro termo não nulo:
  • Lembrando:
x\ln(1+x)=x^{2}-\frac{x^{3}}{2}+O(x^{4}),
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{4}),
e com a=-\tfrac12,\;b=0,\;c=-1, os termos a x^{2}+b x+c são -\tfrac12 x^{2}+0\cdot x -1.
Somando tudo (vou organizar por potências):
  • Constante: 1 + c = 1-1 = 0.
  • Coeficiente de x: 0.
  • Coeficiente de x^{2}: 1 - \tfrac12 -\tfrac12 = 0 (como já impusemos).
  • Coeficiente de x^{3}: vem de x\ln(1+x) com -\tfrac{1}{2}x^{3}. Nem \cos x nem os outros termos têm x^{3} (cos tem apenas par). Logo o primeiro termo não nulo é
-\frac{1}{2}x^{3}.
Assim para x\to0 temos
f(x)=-\frac{1}{2}x^{3}+o(x^{3}).
Portanto a parte principal (termo dominante não-nulo de menor grau) é -\tfrac{1}{2}x^{3} e f(x) é um infinitésimo de ordem 3 em relação a x; em notação assintótica:
f(x)\sim -\frac{1}{2}x^{3}\quad\text{quando }x\to0,
ou seja \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{3}}=-\tfrac12.

Passo 9

Comentário didático final (como escrever isso rápido na prova):
  • Para a primeira questão: mostre \ln(1+x)<x para x>0 (derivada positiva de x-\ln(1+x)), conclude que a sequência é decrescente e positiva, logo converge; o limite L satisfaz e^{L}=1+L e por convexidade a única solução é L=0.
  • Para a segunda: desenvolva em série até a ordem 2, anule constantes, coeficiente linear e quadrático para forçar o(x^{2}); depois, para achar o termo principal, desenvolva até a primeira potência não anulada (aqui x^{3}).

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = 0\n
\displaystyle a=-\tfrac{1}{2},\quad b=0,\quad c=-1\n
Parte principal: \displaystyle -\tfrac{1}{2}x^{3}. Ordem do infinitésimo: 3 (isto é, f(x)\sim -\tfrac{1}{2}x^{3}).

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