Seja
. Prove que a sequência
converge e calcule
7. Seja
Determine os valores de
. Quando x é um infinitésimo de ordem superior, determine a parte principal e a ordem do infinitésimo de
em relação a
.
7. Seja
Passo 1
Vou primeiro entender direitinho o que cada parte do enunciado pede e quais informações temos.
- Para a primeira sequência: temos
e a recorrência A pergunta é: provar que a sequência converge e calcular . - Para a segunda parte: a função é
isso significa que, quando
, temos
Pedem:
- Determinar os valores de
, e que tornam verdadeira a igualdade assintótica acima. - Quando
é um infinitésimo, determinar a parte principal (termo dominante não nulo mais baixo grau) de e a ordem do infinitésimo de em relação a .
Não começo a resolver ainda; apenas sei o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Vamos resolver a primeira parte: mostrar que a sequência converge. Primeiro ideia básica (do tipo que cai bem na prova): mostrar que
é positiva, monótona (decrescente) e limitada inferiormente, então convergente.
- Positividade por indução:
- Temos
. - Se
então . Para , e . Logo . - Assim,
para todo .
- Mostrar que é decrescente: preciso provar que para todo
vale . Isso é um fato clássico — vou provar com uma função simples.
Defina
Então
Para
temos
, logo
é estritamente crescente em
. Como
, segue que
para todo
, ou seja
Assim, se
então
. Portanto a sequência é estritamente decrescente.
- Como
é decrescente e todas as , está limitada inferiormente por . Pela propriedade básica de sequências monótonas, uma sequência decrescente e limitada abaixo converge. Logo converge.
Passo 3
Agora encontro o limite. Seja
Como a aplicação
é contínua em
, tomando limite na recorrência
obtemos a equação fixa
Agora resolvo essa equação para
.
Exponenciando ambos os lados:
Defina
Temos
. Vou mostrar que
é a única solução real.
Calcule derivadas:
Como
para todo
,
é estritamente convexa; seu ponto crítico é onde
, ou seja
. Esse é o mínimo global de
. Como
e é mínimo,
para todo
e a igualdade só ocorre em
. Portanto a única solução da equação
é
.
Logo a sequência converge e o limite é
.
Passo 4
Resumo e comentário didático sobre a primeira parte (como fazer isso na prova rapidamente):
- Mostrar
para é uma fórmula padrão — pode ser feita com e observar . - A partir disso, se
obtemos e para todo , então convergente. - O limite
satisfaz e a única solução é , por convexidade de ou simplesmente observando que com igualdade só em (desigualdade de Taylor/convexidade).
Passo 5
Agora passo para a segunda parte: encontrar
de modo que
Estratégia: expandir cada termo em série de Taylor até ordem
ou até ordem suficiente, identificar os coeficientes das potências
,
,
e anular esses coeficientes para garantir que o termo principal de ordem
seja zero — pois
exige que o termo constante, linear e quadrático sejam todos nulos.
Vou usar as expansões conhecidas em torno de
:
- Para
temos
Logo
- Para
temos
- Os termos
são óbvios.
Agora somo as expansões até ordem
.
Passo 6
Somando os termos até ordem
:
- Termo constante (ordem
): vem apenas de e de . Então constante total:
- Coeficiente de
: vem apenas de , pois começa em e não tem termo em . Então coeficiente de é
- Coeficiente de
: vem de com coeficiente , de com coeficiente e de com coeficiente . Portanto coeficiente total de é
Para que
é necessário (e suficiente) que os coeficientes dos termos de ordem
sejam todos zero (caso contrário
teria um termo de ordem menor ou igual a
que impediria
).
Passo 7
Impondo as condições de anulação:
- Constante zero:
- Coeficiente de
zero:
- Coeficiente de
zero:
Portanto
.
Passo 8
Agora determinar a parte principal e a ordem do infinitésimo de
quando
.
Já temos as séries com os valores de
substituídos. Reescrevo a expansão incluindo o termo de ordem
para encontrar o primeiro termo não nulo:
- Lembrando:
e com
, os termos
são
.
Somando tudo (vou organizar por potências):
- Constante:
. - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: (como já impusemos). - Coeficiente de
: vem de com . Nem nem os outros termos têm (cos tem apenas par). Logo o primeiro termo não nulo é
Assim para
temos
Portanto a parte principal (termo dominante não-nulo de menor grau) é
e
é um infinitésimo de ordem
em relação a
; em notação assintótica:
ou seja
.
Passo 9
Comentário didático final (como escrever isso rápido na prova):
- Para a primeira questão: mostre
para (derivada positiva de ), conclude que a sequência é decrescente e positiva, logo converge; o limite satisfaz e por convexidade a única solução é . - Para a segunda: desenvolva em série até a ordem 2, anule constantes, coeficiente linear e quadrático para forçar
; depois, para achar o termo principal, desenvolva até a primeira potência não anulada (aqui ).
Resposta
Parte principal: