Seja f(x)=x \ln (1+x)+\cos x+a x^{2}+b x+c=o\left(x^{2}\right)
Determine os valores de \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}. Quando x é um infinitésimo de ordem superior, determine a parte principal e a ordem do infinitésimo de f(x) em relação a x.
8. A função y(x) é definida implicitamente pela equação paramétrica:
\left\{\begin{array}{l} x=\arctan t \\\ y=\operatorname{arccot} t+\ln \left(1+t^{2}\right) \end{array}\right.
Calcule \frac{d y}{d x} \mathrm{e} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

Passo 1

O enunciado contém duas partes. Primeiro temos a função
f(x)=x\ln(1+x)+\cos x+a x^{2}+b x+c=o\left(x^{2}\right)
e pede para determinar os valores de [a,;b,;c). Em seguida pede: quando x\to 0 (isto é, x é um infinitésimo), determine a parte principal e a ordem do infinitésimo de f(x) em relação a x.
A segunda parte do enunciado define y(x) por coordenadas paramétricas
\begin{cases} x=\arctan t\\[4pt] y=\operatorname{arccot} t+\ln(1+t^{2}) \end{cases}
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}\] e \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Informações dadas relevantes:
\text{sabemos as expressões de }f(x),\;x(t),\;y(t)\text{ e que o símbolo }o\left(x^{2}\right)\text{ é quando }x\to0.õíé]

Passo 2

Primeiro vou explicar e usar séries de Taylor ao redor de 0 (coisa que cai muito bem numa prova): a ideia é expandir cada termo até as ordens necessárias. As expansões conhecidas são
\ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+o(x^{3}),
\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}+o(x^{4}).
Aqui escrevo só até a ordem que vou precisar. Lembre que o(x^{n}) significa termos que, divididos por x^{n}, vão para 0 quando x\to0.
Agora, multiplicando \ln(1+x) por x
x\ln(1+x)=x\left(x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+o(x^{3})\right)=x^{2}-\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{3}+o(x^{4}).

Passo 3

Vamos somar os termos em f(x). Usando as expansões acima temos
x\ln(1+x)=x^{2}-\dfrac{x^{3}}{2}+o(x^{3}),
\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Somando tudo em f(x)=x\ln(1+x)+\cos x+a x^{2}+b x+c obtemos a expansão até ordem x^{3}:
f(x)=\Big(1+c\Big)+\Big(b\Big)x+\Big(1-\dfrac{1}{2}+a\Big)x^{2}+\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)x^{3}+o(x^{3}).
Vou escrever esses coeficientes com mais clareza:
\text{termo constante: }1+c,
\text{coeficiente de }x:\; b,
\text{coeficiente de }x^{2}:\; 1-\dfrac{1}{2}+a=\dfrac{1}{2}+a,
\text{coeficiente de }x^{3}:\; -\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora uso a condição f(x)=o(x^{2}). Significa que \dfrac{f(x)}{x^{2}}\to 0 quando x\to0. Para isso é necessário que os termos de ordem menor que x^{2} desapareçam (constante e x) e também que o coeficiente de x^{2} seja zero (caso contrário f(x) teria termo proporcional a x^{2}, que não seria o(x^{2})). Logo impomos:
1+c=0,\qquad b=0,\qquad \dfrac{1}{2}+a=0.
Resolvendo:
c=-1,\qquad b=0,\qquad a=-\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Com a,b,c determinados, reescrevo a expansão de f(x) para identificar a parte principal (o primeiro termo não nulo) e a ordem do infinitésimo:
substituindo a=-\dfrac{1}{2},\;b=0,\;c=-1 na expansão do Passo 3 obtemos
f(x)=0\cdot 1 +0\cdot x +0\cdot x^{2} -\dfrac{1}{2}x^{3}+o(x^{3})=-\dfrac{1}{2}x^{3}+o(x^{3}).
Portanto a parte principal de f(x) quando x\to0 é -\dfrac{1}{2}x^{3} e a ordem do infinitésimo é 3 (isto é, f(x) é um infinitésimo da ordem de x^{3}; simbolicamente f(x)\sim -\dfrac{1}{2}x^{3}).

Passo 6

Agora a segunda parte (paramétrica). Vou calcular \dfrac{dy}{dx} usando derivadas em função de t e a regra da cadeia para paramétricas:
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}\arctan t=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
Para y temos
\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}\operatorname{arccot}t+\dfrac{d}{dt}\ln(1+t^{2}).
Lembre: \dfrac{d}{dt}\operatorname{arccot}t=-\dfrac{1}{1+t^{2}} e \dfrac{d}{dt}\ln(1+t^{2})=\dfrac{2t}{1+t^{2}}. Assim
\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{1}{1+t^{2}}+\dfrac{2t}{1+t^{2}}=\dfrac{-1+2t}{1+t^{2}}.

Passo 7

Aplicando \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} obtemos
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{-1+2t}{1+t^{2}}}{\dfrac{1}{1+t^{2}}}=-1+2t.
Podemos também expressar em função de x usando t=\tan x (pois x=\arctan t\Rightarrow t=\tan x):
\dfrac{dy}{dx}=2\tan x-1.

Passo 8

Para a segunda derivada uso a regra
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\cdot\dfrac{dt}{dx}.
Já temos \dfrac{dy}{dx}=2t-1, então
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dt}(2t-1)=2.
E \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{dx/dt}=1+t^{2}. Portanto
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\cdot(1+t^{2})=2(1+t^{2}).
Em função de x (usando t=\tan x) isso fica
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\bigl(1+\tan^{2}x\bigr)=\dfrac{2}{\cos^{2}x}.

Resposta

a=-\dfrac{1}{2},\; b=0,\; c=-1
A parte principal de f(x) é -\dfrac{1}{2}x^{3}.
A ordem do infinitésimo de f(x) é 3.
\dfrac{dy}{dx}=2t-1 (ou \;2\tan x-1).
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2(1+t^{2}) (ou \;\dfrac{2}{\cos^{2}x}).

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