Seja
Determine os valores de
. Quando x é um infinitésimo de ordem superior, determine a parte principal e a ordem do infinitésimo de
em relação a
.
8. A função
é definida implicitamente pela equação paramétrica:
Calcule
8. A função
Passo 1
O enunciado contém duas partes. Primeiro temos a função
e pede para determinar os valores de [a,;b,;c). Em seguida pede: quando
(isto é,
é um infinitésimo), determine a parte principal e a ordem do infinitésimo de
em relação a
.
A segunda parte do enunciado define
por coordenadas paramétricas
e pede para calcular
.
Informações dadas relevantes:
Passo 2
Primeiro vou explicar e usar séries de Taylor ao redor de
(coisa que cai muito bem numa prova): a ideia é expandir cada termo até as ordens necessárias. As expansões conhecidas são
Aqui escrevo só até a ordem que vou precisar. Lembre que
significa termos que, divididos por
, vão para
quando
.
Agora, multiplicando
por
dá
Passo 3
Vamos somar os termos em
. Usando as expansões acima temos
Somando tudo em
obtemos a expansão até ordem
:
Vou escrever esses coeficientes com mais clareza:
Passo 4
Agora uso a condição
. Significa que
quando
. Para isso é necessário que os termos de ordem menor que
desapareçam (constante e
) e também que o coeficiente de
seja zero (caso contrário
teria termo proporcional a
, que não seria
). Logo impomos:
Resolvendo:
Passo 5
Com
determinados, reescrevo a expansão de
para identificar a parte principal (o primeiro termo não nulo) e a ordem do infinitésimo:
substituindo na expansão do Passo 3 obtemos
substituindo
Portanto a parte principal de
quando
é
e a ordem do infinitésimo é
(isto é,
é um infinitésimo da ordem de
; simbolicamente
).
Passo 6
Agora a segunda parte (paramétrica). Vou calcular
usando derivadas em função de
e a regra da cadeia para paramétricas:
Para
temos
Lembre:
e
. Assim
Passo 7
Aplicando
obtemos
Podemos também expressar em função de
usando
(pois
):
Passo 8
Para a segunda derivada uso a regra
Já temos
, então
E
. Portanto
Em função de
(usando
) isso fica
Resposta
A parte principal de
A ordem do infinitésimo de