( 20 pontos) Considere a equação
. Identifique a cônica e determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas caso existam.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para identificarmos a cônica, seu centro, vértices, focos, excentricidade e assíntotas. O conteúdo é hiperboles em forma canônica.
Passo 2
Para ver que é uma hipérbole, comparamos com a forma padrão
Como o termo positivo envolve
, temos eixo transverso horizontal.
Passo 3
Extraímos os parâmetros:
,
(centro),
,
.
Passo 4
Os vértices ficam a distância
ao longo do eixo horizontal, ou seja,
isto é,
Passo 5
O parâmetro dos focos satisfaz
e a excentricidade é
Os focos estão em
ou seja,
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são
Substituindo
,
,
, obtemos
Resposta
Conic : hipérbole com eixo transverso horizontal
Centro :
Vértices : e
Focos : e
Excentricidade :
Assíntotas :
Centro :
Vértices :
Focos :
Excentricidade :
Assíntotas :