( 20 pontos) Considere a equação \frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-1)^{2}}{16}=1. Identifique a cônica e determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas caso existam.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{(x+2)^{2}}{9} \;-\;\frac{(y-1)^{2}}{16} \;=\;1
e pede para identificarmos a cônica, seu centro, vértices, focos, excentricidade e assíntotas. O conteúdo é hiperboles em forma canônica.

Passo 2

Para ver que é uma hipérbole, comparamos com a forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1.
Como o termo positivo envolve (x+2)^2, temos eixo transverso horizontal.

Passo 3

Extraímos os parâmetros: \displaystyle h=-2, \displaystyle k=1 (centro), \displaystyle a^{2}=9\implies a=3, \displaystyle b^{2}=16\implies b=4.

Passo 4

Os vértices ficam a distância a ao longo do eixo horizontal, ou seja,
(-2\pm3,\;1),
isto é,
(-5,1)\quad\text{e}\quad(1,1).

Passo 5

O parâmetro dos focos satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+16=25\implies c=5,
e a excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}.
Os focos estão em
(-2\pm5,\;1),
ou seja,
(-7,1)\quad\text{e}\quad(3,1).

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são
y-k=\pm\frac{b}{a}\,(x-h).
Substituindo h=-2, k=1, b/a=4/3, obtemos
y-1 = \frac{4}{3}(x+2) \quad\text{e}\quad y-1 = -\frac{4}{3}(x+2).

Resposta

Conic : hipérbole com eixo transverso horizontal
Centro : (-2,1)
Vértices : (-5,1) e (1,1)
Focos : (-7,1) e (3,1)
Excentricidade : e=\tfrac{5}{3}
Assíntotas :
y-1 = \frac{4}{3}(x+2),
y-1 = -\frac{4}{3}(x+2).

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