(10 pontos) Determine a solução geral da EDO de Cauchy-Euler:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Cauchy–Euler
Uma EDO de Cauchy–Euler tem a forma
e a técnica típica é usar o ansatz
para reduzir tudo a uma equação algébrica em
.
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo na EDO:
que simplifica para
Como
para
, sobra a condição sobre
:
Passo 3
Resolvendo a “equação característica”
vemos que há raiz dupla
.
Passo 4
Quando a raiz
da equação característica é dupla, a solução geral da EDO de Cauchy–Euler é
Aqui
, logo
com
constantes arbitrárias.