(10 pontos) Determine a solução geral da EDO de Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Cauchy–Euler
x^2y'' - x y' + y = 0
Uma EDO de Cauchy–Euler tem a forma
x^2y'' + a,x,y' + b,y = 0
e a técnica típica é usar o ansatz y=x^m para reduzir tudo a uma equação algébrica em m.

Passo 2

Suponha
y(x)=x^m
Então
y'(x)=m,x^m-1, y''(x)=m(m-1),x^m-2
Substituindo na EDO:
x^2l(m(m-1)x^m-2r);-;xl(m,x^m-1r);+;x^m=0
que simplifica para
x^ml[m(m-1)-m+1r]=0
Como x^mneq0 para xneq0, sobra a condição sobre m:
m(m-1)-m+1=0

Passo 3

Resolvendo a “equação característica”
m(m-1)-m+1=0 Longrightarrow m^2-2m+1=0 Longrightarrow (m-1)^2=0,
vemos que há raiz dupla m=1.

Passo 4

Quando a raiz m da equação característica é dupla, a solução geral da EDO de Cauchy–Euler é
y(x)=C1,x^m+C2,x^mln(x)
Aqui m=1, logo
y(x)=C1,x + C2,xln(x),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1,x + C2,xln(x)

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