Integrando por partes, prove que:
Lt^n=n!s^n+1, n in N

Passo 1

Resumo do enunciado: você quer provar, usando integração por partes, que a transformada de Laplace de t^n é n!s^n+1. O conteúdo envolve transformada de Laplace e integração por partes; vamos precisar da definição de Lf(t) e da fórmula de integração por partes.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace: para f(t), temos
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
No nosso caso, f(t)=t^n, então começamos com
Lt^n=integral0^inftyt^n e^-st,dt

Passo 3

Explicação da fórmula de integração por partes: se u e v são funções de t, então
integral u,dv=uv-integral v,du
Vamos aplicar isso escolhendo u=t^n e dv=e^-stdt.

Passo 4

Cálculo de du e v:
u=t^nimplies du=n t^n-1dt,
dv=e^-stdtimplies v=-1se^-st

Passo 5

Aplicando integração por partes no integral original:
integral0^inftyt^n e^-stdt=l-1st^n e^-str|0^infty+nsintegral0^inftyt^n-1e^-stdt

Passo 6

Análise do termo de fronteira: para s>0, quando ttoinfty, t^n e^-stto0, e em t=0 dá zero. Então esse termo some e sobra:
Lt^n=nsintegral0^inftyt^n-1e^-stdt

Passo 7

Observação de padrão: o integral que ficou é justamente Lt^n-1. Logo
Lt^n=ns,Lt^n-1

Passo 8

Passo de indução:
Base n=0: L1=integral0^inftye^-stdt=1s=0!s^1.
Supondo Lt^n-1=(n-1)!s^n, então
Lt^n=nscdot(n-1)!s^n=n!s^n+1
Assim, por indução, vale para todo ninN.

Resposta

Lt^n=dfracn!s^n+1

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