Resumo do enunciado: você quer provar, usando integração por partes, que a transformada de Laplace de é . O conteúdo envolve transformada de Laplace e integração por partes; vamos precisar da definição de e da fórmula de integração por partes.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace: para , temos
No nosso caso, , então começamos com
Passo 3
Explicação da fórmula de integração por partes: se e são funções de , então
Vamos aplicar isso escolhendo e .
Passo 4
Cálculo de e :
Passo 5
Aplicando integração por partes no integral original:
Passo 6
Análise do termo de fronteira: para s>0, quando ttoinfty, t^n e^-stto0, e em t=0 dá zero. Então esse termo some e sobra:
Lt^n=nsintegral0^inftyt^n-1e^-stdt
Passo 7
Observação de padrão: o integral que ficou é justamente Lt^n-1. Logo
Lt^n=ns,Lt^n-1
Passo 8
Passo de indução:
Base n=0: L1=integral0^inftye^-stdt=1s=0!s^1.
Supondo Lt^n-1=(n-1)!s^n, então